Défi : continuité

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Défi : continuité
Posté par 
tringlarido  26-10-08 à 14:56
Bonjour à tous,

Il y a quelques topologies amusantes sur l'ensemble  des entiers naturels :

 : la topologie discrète (tout est ouvert, tout est fermé)
 : les fermés sont les ensembles finis
 : les fermés sont les ensembles de densité nulle. Rappelons à ce propos que  est de densité nulle si :


(l'ordre de présentation est l'ordre croissant de difficulté, l'ordre de notation est l'ordre d'inclusion des topologies)

Question 0 : sont-ce bien des topologies ?

Question 1 : On a bien évidemment . Et donc l'identité est continue de . Le défi consiste à dire s'il existe (et construire si il existe) des exemples de fonctions  vérifiant :

1)  continue mais  non continue.

2)  continue mais  non continue.
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plumemeteorere : Défi : continuité  26-10-08 à 15:31
bonjour

T2 n'est une topologie que si l'ensemble général est lui-même fini; car dans toute topologie d'un ensemble, cet ensemble est à la fois ouvert et fermé
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tringlaridore : Défi : continuité  26-10-08 à 15:33
Certes, il fallait dire (ou lire) : 



les fermés sont les sous-ensembles sus cités et  tout entier.

(Merci)
 Posté par 
Cauchyre : Défi : continuité  26-10-08 à 15:53
Salut,



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une application continue de N pour T1 dans T0 est nécessairement constante,car on doit avoir l'image réciproque de tout sous ensemble de N qui doit être fermée et ouverte dans (N,T1)(dont on remarque qu'il est connexe un ensemble de densité nulle ne peut avoir son complémentaire de densité nulle) donc doit être N ou le vide. Ainsi on doit trouver une application constante non continue de (N,T2) dans (N,T1), ce n'est pas possible. 
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tringlaridore : Défi : continuité  26-10-08 à 16:09
Bien vu. Cette remarque règle le sort de la question 2 !
 Posté par 
Cauchyre : Défi : continuité  26-10-08 à 16:19
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De même une application continue de (N,T2) dans (N,T1) doit être constante. En effet déja remarquons que si Im(f) est fini et de cardinal plus grand que 2, il y a au moins un élément de l'image dont l'image réciproque est infinie différente de N ce qui n'est pas possible. Maintenant si f n'est pas constante alors d'après la remarque précédente, on a Im(f) infinie. Soit Im(f) est de densité nulle alors si j'écris ces éléments sous la forme {a1,....an,...} et que je considère l'ensemble P={a1,a3,a5,...} il est toujours de densité nulle et son image réciproque est infinie différente de l'identité. Si Im(f) n'est pas de densité nulle, on prend pour ensemble P un ensemble de densité nulle strictement inclus dans l'image et on conclut de même. 
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tringlaridore : Défi : continuité  26-10-08 à 16:23
Ce qui règle le sort de la question 1 !
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Cauchyre : Défi : continuité  26-10-08 à 16:30
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 La question 0 est claire pour T0 et T2, pour T1, une intersection d'ensembles de densité nulle est clairement de densité nulle, la réunion finie est aussi de densité nulle si F1,...Fr sont ces ensembles on écrit que card(F1U...Fr)<=Card(F1)+....Card(Fr), on intersecte avec [0,n] puis on passe à la limite en n.
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tringlaridore : Défi : continuité  26-10-08 à 16:34
Cauchy adore répondre aux questions dans le désordre ! 
  Posté par 
Cauchyre : Défi : continuité  26-10-08 à 16:44
 C'était pas tout à fait l'ordre décroissant de difficulté j'aurai inversé 1) et 2) 