Kévin,

Quelle est ta définition de "f convexe" ?

Nicolas

Oui c'est vrai j'aurais du préciser, on prendra comme définition :

Citation :
Une fonction est convexe si et seulement si et on a :

Bonjour,

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Je dirai qu'il suffit de prendre kappa=1/2.

moctar >

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Ce n'est plus valable pour tout lambda dans ce cas

simon >

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Normal l'exponentielle est convexe

simon >

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C'est un corollaire en fait, on montre que si f est convexe alors f' est croissante (en utilisant un taux d'accroissement) et donc oui si la dérivée seconde est positive c'est convexe. En cours nous on est parti de l'épigraphe qui doit être un ensemble convexe.

Salut Kevin

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Le sens direct est trivial non? En prenant lambda = 1/2

Salut Jord

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Oui en utilisant l'inégalité de Jensen le sens direct est direct c'est le cas de le dire

L'autre sens l'est un peu moins

up

Salut vieux,

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Pour le sens direct, trivialement, on prend lambda=1/2.
Pour le sens indirect, j'y réfléchis.
_{(En fait, ce post, c'est juste pour suivre )}

Salut Kévin

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peut être qu'il faut résoudre l'équation fonctionnelle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2, on va trouver que ce sont les fonctions affines ... Je sais pas, mais je vois qu'il y a ici une relation entre les positions des tangentes et la courbe :s

Bonjour

Dans mon DM on avait un indice, je vous le donne :

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Considérer les nombres de la forme

Salut,

Kévin-->

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Ne faut-il pas supposer f continue?

Oups si excusez moi f est continue

Merci Cauchy !

Bonjour
Juste un petit HS : Est-ce votre prof qui appelle l'inégalité de convexité "inégalité de Jensen"?
Parce que je l'appellais toujours comme ça, mais mon prof pense que cette appellation est impropre

Fractal

On l'appelle comme ça dans tous les bouquins pourtant

Salut Guillaume

Ca me fait marrer parce que j'ai eu le même coup, moi je l'ai toujours appellé "inégalité de Jensen" et la dernière fois je le sors à ma prof elle me fait : "L'inégalité de quoi ?" .

euh je pense qu'il dit vrai

les inégalités de convexités sont les corollaires de l'inégalité de Jensen: comparaison des moyennes arithmétiques et géométriques, Holder, Cauchy-Schwartz (), Minkowski...

enfin, c'est ce que je trouve sur un bouquin

enfin je pense que votre prof dit le contraire

Kévin>>

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On sait que l'ensemble des k/2^n est dense dans [0,1], donc la définition de convexité est prouvée pour les lambdas de cette forme... mais ça ne m'a pas avancé

monrow >

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Oui j'ai commencé par montrer que cet ensemble est dense dans R (donc dans [0,1]), par contre ça montre pas que la convexité est prouvée pour les lambdas de cette forme. La densité va juste servir à étendre la propriété à tous réels.

Bonsoir,

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Bonsoir : on passe à la récurrence avec les nombres en k/2^n, pour vérifier l'inégalité de convexité ...
puis on approche a réel par E(a*2^n)/2^n...Joli comme exo ...

évidemment si f n'est pas continue je pense que ma solution tombe à l'eau ...

hatimy >

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c'est bon pour la méthode