Bonjour blang=>Les secrets annoncés dans l'énigmatik.

1°) Je ne comprend pas la question
2°)

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Si c'est divisibl par 5 et que c'est impair alors ca finit par 5. Il existe 5 comme entier premier qui obéit à la condition suivante.

Salut

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bon, le coup du modulo 99999 m'a un peu...découragée, je m'y remettrai plus tard.

Pour ici, je peux faire comme Moumbo et traiter une question que je se sais faire : si N est pair ou divisible par 5, il n'existe pas d'entier premier donc l'écriture se termine par N puis qu'il serait alors divisible par 2 ou 5

Sérieusement, je réfléchis. Je tenterai bien un truc par l'absurde au 1.

@Mariette:

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Un petit conseil, commence par le 2) qui se traite en quelques lignes

Salut blang
Je propose:

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Pour le 2, un petit A=>B <=> non B => non A
Donc la c'est automatique

Bonjour,

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pour le deuxième, je serais tenté de partir du théorème de Dirichlet

Prenons a=10^N où N est supérieur au nombre de chiffres de n.
a et n sont premiers entre eux.
Le théorème de Dirichlet assure qu'il existe une infinité de nombre premier de la forme ak+n où k est un entier bien entendu.

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Au départ, j'avais l'impression que la question 1/ était plus simple et en fait, je n'arrive pas à bien mettre au point mes idées là-dessus

@davidh

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Bravo . Le 2) c'est fait

@Simon92

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La contraposée n'est quand même pas automatique:
"Si aucun entier premier ne se termine par N, alors N est pair ou divisible par 5".
A condition de supposer N>5, c'est plutôt la réciproque qui est automatique

ok, j'ai mal fait

blang >>

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si l'on considère l'ensemble des nombres qui commencent par N, on balaye des intervalles de longueur 10^n, avec n dans N. Je me demande s'il n'y a pas un résultat que j'ai l'impression d'avoir fait dans un sujet qui assure l'existence d'un nombre premier dans des intervalles de longueur < 10^n

@hatimy

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Citation :
l'existence d'un nombre premier dans des intervalles de longueur < 10^n

Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire ?

bonjour Blang

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le 2) est une application d'un théorème de Dirichlet : si a et b sont premiers entre eux, il y a une infinité de nombres premiers de la forme ka+b
ici b = N et a = 10^{nombre de chiffres de N}

blang >>

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je pense qu'il y a un théorème qui dit que sur tout interval de longueur 10^n (ou a^n avec a<10), je suis sûr de trouver un nombre premier.ça vous dit quelque chose ?

@plumemeteore

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Bravo...

@hatimy

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Je ne comprends toujours pas bien . En effet, il existe des intervalles de longueur arbitrairement grande ne contenant aucun entier premier...
Par exemple si N=1+10ⁿ, [N!+2, N!+N] ne contient pas d'entier premier...

Aucun candidat pour le 1) ?

Allez, une dernière indication avant de poster une solution pour le 1)

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Si p_n désigne le n-ième entier premier, on a :   .

Voilà donc ma soluce :

Notons p_n le n-ième entier premier. D'après l'indication on a donc : : à partir de là, il n'y a presque plus rien à faire

En effet soit a un entier strictement positif.

Il existe un entier m tel que dès que .

Soit alors un naturel tel que ; notons M le plus entier supérieur à m tel que .

Alors .

Ainsi , ce qui prouve que l'écriture décimale de commence (à gauche) par celle de a.