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On démontre facilement que les racines polynôme à coefficient entiers sont soientt entières soient irrationnelles.
Dans notre cas, soit x une solution rationnelle, elle est donc entière. On montre que x=b puis que a=b-1.
Par suite, le seul cas où il peut avoir une solution c'est pour a=2 et b=3.Yen a pas, donc yen a jamais.

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Tu peux développer un peu plus ? C'est la bonne réponse cela dit !

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les solutions sont très communs
b²-4ab doit être un carré; c'est le cas quand b et b-4a sont deux carrés
il suffit de choisir deux carrés impairs premiers entre eux; b sera le plus grand; a sera le quart de la différence des deux

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Et peux-tu m'en citer ?

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j'ai mal lu l'énoncé; j'avais compris que a et b étaient premiers entre eux
il faudrait que b²+4ab = b(b+4a) ou b²-4ab = b(b-4a) soit un carré
le facteur b doit se retrouver dans b+4a ou dans b-4a
si b est impair et différent de a, b est premier avec 4a et c'est impossible
si b est impair et égal à a, 5b² ou -3b² devrait être un carré, ce qui est faux
si b = 2, 4+8a ou 4-8a devrait être un carré; 4-8a est négatif et ne sera jamais un carré; si 4+8a est un carré, 2a+1 l'est aussi; mais si a = 2, 5 n'est pas un carré et si a est impair 2a+1 = 3 modulo 4 contrairement aux carrés
donc il n'y a pas de solution

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Si cette équation a une solution rationnelle x = u/v, avec u et v premiers entre eux, alors u divise b et v divise a.
En effet, au²/v² - bu/v + b = 0 s'écrit au² - buv + bv² = 0.
D'où u(au - bv) = -bv² et donc u divise b.
D'où encore v(bv - bu) = -au² et donc v divise a.

Les seules solutions possibles sont donc 1, b, 1/a et b/a (on élimine les solutions négatives car si x est négatif, ax² - bx + b est strictement positif).

Si x = 1, ax² - bx + b = a > 0
Si x = b, ax² - bx + b = b[b(a - 1) + 1] > 0
Si x = 1/a, ax² - bx + b = [b(a - 1) + 1]/a > 0
Si x = b/a, ax² - bx + b = b > 0

Il n'y a donc pas de solution rationnelle.

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Bonsoir, comme d'habitude une bonne réponse

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Soit une solution rationelle:
On commence par montrer que q|a, ce qui nous ramène à q=1 ou q=a.
Cas ou q=1.
Dans ce cas, l'équation se ramène à ap²-bp+b=0, et donc, on a p|b.
Si p=1, on a pas de solution, a car .
Si p=b, on n'en a pas non plus puisqu'on se ramène a ab=b-1; (absurde car b n'est pas égal à 1 et que a est premier)

Cas ou q=a.
L'équation se ramène alors à :
p²-bp+ab=0
Ce qui nous ramène a p(b-p)=ab.
Donc ou p=1 (déjà traité ci dessus) ou p=a, ou p=b.
p=b est absurde par sinon ab=0
p=a l'est aussi car a(b-a)=ab <==> a(b-a-b)=0<==>a=0

ABSURDE.

Ya jamais de solution.

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il suffit de s'occuper du discrimiant qui est b³+4ab ou b²-4ab
on apprend cette notion en troisième ou en seconde avec les équations du deuxième degré
je suppose qu'à cet âge, les élèves n'ont pas que des connaissances; ils sont capables d'un certain niveau de raisonnement

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Désolé d'avoir lu ton blanké, mais la notion de discriminant se voit en première. De plus, la notion de divisibilité, elle ne se voit qu'en TS math. Dire que c'est faisable par un première, c'est un peu exagéré. Je doute fort, qu'un première normal puisse utiliser correctement la notion de divisibilité pour résoudre cette question. M'enfin bon ...