strictement positif non?

Oui pardon strictement

Alors déjà ce qu'on peut dire

c'est que

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(1) f o f (x) = f(1) / x

(2) f(x f(1)) = f(x)

d'où en appliquant à gauche et en utilisant (1)

1/x = f(1)/x

d'où (3) f(1) = 1

Ainsi

(4) f o f (x) = 1/x

chiotte, je me suis trompé de bouton!

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(1) f o f(x) = f(1)/x

(2) f(xf(1)) = f(x)

d'où en appliquant f à gauche et en utilisant (1)

1/x = f(1)/x

soit (3) f(1) = 1

Ainsi (4) f o f (x)  = 1/x

Bonsoir,

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Montrons d'abord que f est bijective:


f existe si et donc  

Pour x=1 on a:



Si alors

Donc f est bijective

Pour y=0 on a:





car

Donc d'où est solution.

Autre chose,

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en posant x <- y et y <- 1/x

on a

(5) xf(y) = f(yf(1/x))

d'où

f(x)/y = f (xf(y)) = f o f (y f(1/x)) = 1 / yf(1/x)

soit (6) f(x) f(1/x) = 1
f(x) et f(1/x) sont inverses l'un de l'autre...

euh moctar tu t'es trompé!

(cf dernière ligne!)

Ju007>>

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ma conclusion est fausse ?

bien vu...

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donc il y a une contradiction non?

Remarque...

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"f est bijective donc f est monotone" est vraie que si f est continue non?

Regarde, si on prend la fonction qui à x associe x si x appartient à Q et 1/x si x est irrationnel.

Cet fonction est bien bijective et non monotone

Ce qu'on a réussi à prouver c'est que f n'est pas continue!

euh oui..

bonsoir

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je ne récris pas le début ,j'ai trouvé comme Ju007
f(xf(f(y)))=f(x)/f(y)=f(x/y)
en prenant x=1 f(1/y)=f(1)/f(y)=1/f(y) si je ne me trompe pas
je reviendrai tout à l'heure

bonsoir velada

bien vu...

Pour conclure,

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f est un morphisme de groupe non continue tel que f² = Inv

wiki te l'expliquera bien que moi =>

merci même si j'y comprends pas grand chose

il y a pas de mal

en fait on peut remplacer la condition de départ par

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f est un morphisme de groupe ( f(xy)=f(x)f(y) pour moctar ) tel que f o f (x) = 1/x

C'est bon, j'ai trouvé! (à mon réveil )  
Un peu capillotracté, mais je pense que ça passe!
(L'énoncé demandait de construire une fonction, pas trouvé la forme générique )

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Alors l'idée c'est de partager l'ensemble des nombres premiers en deux ensembles P₁ et P₂ isomorphes entre eux.
(On partitionne)

Par exemple si \ alors on appelle
, et l'application bijective m qui va de dans qui à de P₁ associe et à de associe .

Ainsi pour x peut se mettre sous la forme unique .

On va alors poser .

Je laisse au lecteur le soin de vérifier qu'une telle fonction f convient d'après ce que j'ai écrit précedemment.

(Remarque :il n'y a pas de simplifications qui s'opèrent)

Voilà

je le reformule plus proprement et plus clairement (c'est la même chose mais moi en plus réveillé)

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Pareil, on ordonne de à .

x peut se mettre sous forme réduite et unique

On pose

bonjour,

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Je vais chercher la petite bête :P
On nous demande de construire une fonction f telle que pour tous rationnels strictement positifs x et y elle vérifie f(xf(y))=f(x)/y...
Or, cela n'implique pas que la fonction ne doit pas être définie ailleurs, ni que l'image doit nécessairement appartenir à ₊^* (sinon on aurait du dire: fonction de ₊^* dans ₊^* telle que.... )Juste que pour x et  y rationnels strictement positifs, on ait cette relation..
Par conséquent, la fonction nulle convient! J'ai donc parfaitement et élégamment répondu à la question, je mérite :D
Désolé Kévin c'était trop tentant
Je m'y mets sérieusement

Tak >

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Tu as tout à fait raison

Et comme tu as rectifié l'énoncé tu as le droit d'y participer

bonjour

>>tak

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     si f est définie uniquement sur Q₊* ( ce que j'avais compris)d'aprés la relation donnée xf(y) est dans Q₊* donc pour tout y rationnel strictement positif f(y) est rationnel strictement positif  donc il me semble que l'on n'a pas besoin de préciser l'ensemle d'arrivée  non?

je veux savoir...

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j'ai juste ou pas?

bonjour,
>veleda

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C'est à discuter, en effet, si on avait précisé l'ensemble de départ de la fonction, le fait d'employer après f(xf(y)) pour x et y quelconque semblait présupposer que l'ensemble d'arrivée devait nécessairement être inclu dans l'espace de départ, on comprend bien, mais rigoureusement, je ne pense pas que ça suffise. (mais je ne suis pas spécialiste, loin de là! donc ce n'est que ma modeste opinion ) Mais comme, de toute façon, l'ensemble de départ n'était pas fixé, ici le problème ne se pose pas. Et je réinsiste sur le fait que j'ai posé cette réponse en étant bien consciente de chercher la petite bête