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Dommage, j'arrive pas à trouver de faille
Obligée de répondre sérieusement, quelle horreur
On remarque déjà que toutes les fonctions constantes sont solution.
En prenant x=0, on voit que f² est une fonction constante: ceci est une condition nécessaire.
Maintenant, je cherche si seules les fonctions constantes vérifient f²=cste...
Si f est continue et dérivable sur R, on a (en dérivant f²):
pr tt x réel,
f'(x)*f'(f(x))=0
donc f est constante sur R ou constante juste sur son ensemble d'arrivée...
et si f n'est pas continue, alors là...
Je continue ma recherche
Merci pour cette équation fonctionnelle! (merci à sariette aussi au passage )

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f(x+f(y))=f(x*f(y))

pour x=y=0

f(0+f(O))=f(0) -> fof(0)=f(0) -> ^f(0)=f(0) -> f(0)=0 ou f(0)=1

premier cas : f(0)=0 :
pour y=0 et quelque soit x :

f(x+f(0))=f(x*f(0))=f(0)=0 -> f(x)=0 pour tout x

deuxieme cas : f(0)=1 :
pour y=0 et quelque soit x :

f(x+f(0))=f(x*f(0)) -> f(x+1)=f(x)

il reste donc a trouver les fonctions verifiant f(x+1)=f(x) et f(0)=1
f(x)=1 est la seule fonction qui verifie les deux conditions.

les fonctions sont donc : f(x)=0 et f(x)=1

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Je ne comprends pas d'où vient le f(0)=0 ou f(0)=1...
De plus, un peu plus loin, tu cherches les fonctions vérifiant pr tt x réel, f(x+1)=f(x) et f(0)=1, et tu dis que la fonction constante=1 est la seule solution: qu'en est-il de la fonction f définie sur R par f(x)=cos(2x)? elle est bien 1-périodique et vérifie bien f(0)=1....
Et même, pour discuter le résultat final: tu peux te convaincre toi-même qu'il manque des solutions puisque au moins toutes les fonctions constantes conviennent Sinon, pour le premier cas, je suis d'accord, toute fonction solution s'annulant en un point est nulle partout

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soit f une soluton éventuelle
on pose a, tel que pr tt x réel, fof(x)=a (puisque c'est une condition nécessaire => cf mon précédent message)
f est donc constante égale à a sur Im f
on choisit y tel que y(Im f ), et on en déduit que pour tout x réel,
f(x+a)=f(ax) (1)
Si a=0, il est clair que la fonction est constante.
Si a est strictement positif, cela implique (sauf contre-indication ) que f est constante sur R+, mais aussi, vu que a est strictement positif, quand on fait balayer à x les réels négatifs, on obtient que f est constante sur [a;-oo[, donc au final qu'elle est constante sur R, constante égale à a puisque on sait que f est constante égale à a sur son image (et vu que son image est évidemment non vide...)
Je tiens le même raisonnement pour a strictemetn négatif. Ce n'est certainement pas une démonstration digne de ce nom, mais c'est ainsi que je le sens confusément, sans être vraiment capable pour l'instant de le justifier "au propre". Si ça se trouve il y a une façon bien plus simple de le résoudre, mais bon... Je fais ce que je peux
Donc, en résumé, toutes les fonctions solutions sont nécessairement des fonctions constantes, et toutes les fonctions constantes sont solutions, donc la réponse est : Les seules fonctions à être solution de cette équation fonctionnelle sont toutes les fonctions constantes
pfiou j'ai eu du mal! Et je suis même pas sûre que ce soit bon, mais je te fais confiance pour me le dire si c'est pas le cas

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Oui mais là tu t'es restreinte à Im(f) tricheuse

Et ta démo n'en est pas vraiment une

Si ça peut te rassurer j'ai pas réussi à sortir de Im(f) non plus

Merci de ta participation miss

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Cf Tak

Mais t'as peut-être raison, comme au temps de l'inquisition... (je sors )

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C'est très certainement moi qui ne suis pas réveillée (j'me suis couchée vachement tôt ce matin à cause de toi, tellement j'étais occuppée à réfléchir sur l'équation fonctionnelle ), mais je vois pas où je reste dans Im f?   je me suis servie de Imf pour obtenir 2 conditions nécessaires (pour tout x réel, f(a+x)=f(ax) et il existe x1 réel, tel que f(x1)=a), mais les conditions que j'en ai déduites sont valables pour tout x réel, non? Et dans ma "démo" (je suis entièrement d'accord c'est loin d'être une vraie démo c'est plutôt, comme me l'a très diplomatiquement () fait remarquer mon prof de maths au premier DS de sup une "explication fumeuse qui ne pourrait en aucun cas tenir lieu de démonstration" mais bon, on se change pas si facilement, hein ) j'utilise la restriction à Im f, mais je "justifie" pourquoi c'est constant partout, non?  enfin, de toute façon, vu comment ma démonstration est bien faite, je crois que je peux reprendre ça Rassure moi quand même, c'est bien ça la solution, que je démontre pas quelque chose de faux?
_{au fait, j'peux savoir comment se fait-ce que toi,un modeste terminale, tu connaisses déjà les notions d'image, etc...?}

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Moi ce que j'adore dans tes réponses c'est leurs tailles

Désolé si ta nuit a été courte à cause de moi

Je comprends pas un moment tu me parles de y dans Im(f) et ensuite tu écris f(x+a)=f(ax), mais tu as défini a=f(f(x)) et on a pas f(x+f(f(x)))=f(f(f(x))*a) si ?

_{J'ai le défaut d'être très curieux}

Tu peux m'appeler Kévin

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Je ne vois pas du tout ce que tu sous-entends sur la taille de mes messages...
Euh, je reprends
On a, pour tout réels x et y,
f(x+f(y))=f(x*f(y))
de plus, on sait qu'il existe un réel a, tel que pour tout réel x, fof(x)=a (dans mon premier message, j'ai démontré _je crois _ que fof devait nécessairement être une fonction constante )
Donc on choisit y de telle sorte que y appartienne à l'image de f (c'est possible puisque f est une fonction, donc d'image non vide^^)
Il existe donc un réel z tel que f(z)=y, et alors
f(x+f(y))=f(x*f(y)) pour tout x réel devient
f(x+f(f(z)))=f(x*f(f(z))) pour tout x réel, soit
f(x+a)=f(ax) pour tout x réel.... -sauf erreur -
Bon, c'est après que ça se gate mais bon..

_{c'est pas un défaut ça! (ou alors c'est que je ne suis pas parfaite, ce qui serait bien évidemment absurde ) continue à l'être en tout cas}

J'ai pris note de l'autorisation de même, tu peux m'appeler Marthe

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Oui ok ça fonctionne que si f est dérivable





Tu te couches pas de bonne heure Marthe, va pas dire que c'est ma faute si t'es crevée

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Exact, j'ai pas fait la démo pour si f n'est pas dérivable... Boah, en bidouillant un peu...

Hé, 1h23 c'est pas une heure tardive pour se coucher! C'est ma façon personnelle de dire "je suis en vacances!"   _{ok, ok, j'avoue, si je suis crevée, c'est de ma faute.. N'empêche...!}

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Bidouille

Oui c'est ma vision des vacances aussi

Bonne soirée/nuit

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Merci toi de même

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Je ne m'attendais pas à ce que tu répondes du Tak-o-Tak

(Ouh que c'est nul je sors, A+)

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effectivement c'est un très grand classique
Mais bon, vu l'heure...j'peux pas trop t'en vouloir...
sinon, pour revenir aux choses sérieuses ()
J'ai trouvé comment étendre la démo aux fonctions non dérivables:
j'ai déjà démontré que f²=cste était une nécessité. Pour démontrer que cela implique que f est constante sur son image, on procède par l'absurde: supposons qu'il existe un élément y1 de Im f tel que f(y1)<>a (où a est la valeur de fof(x) sur R)
alors, si l'on prend x1 tel que f(x1)=y (c'est possible puisque y appartient à l'image de f)
fof(x1)<>a : contradiction avec la condition f²=constante
On en déduit que toute fonction solution est constante sur son image. (et pas seulement les fonctions dérivables ) Du coup on peut appliquer l'espèce de démo, et c'est bon   
_{t'as vu j'fais des progrès niveau taille des messages, non?....non, bon...}

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Merci d'être tolérante

Et bien vu la démonstration par l'absurde

Sarriette peut-être fière de son équation

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Oui, Sariette peut être fière! _{Et elle au moins elle l'a inventée, contrairement à d'autres qui s'inspirent des OIM}

Une autre? :P

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Non pas possible ? Deux lignes bravo

Moi la mienne tu avais lu les blanqués pas bien ( :*: Défi : équation fonctionnelle :*:), jamais j'aurais osé faire ça moi...

Une autre ? Je t'en prie invente-en une et après on cherche

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Merci de m'avoir citée mais je ne pensais pas que tu allais la poster pour de bon!
Tu ne m'auras pas la prochaine fois

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C'est pas ma faute, Marthe était en manque, d'équation fonctionnelle

Autant faire partager ta trouvaille

Bon avant d'entamer autre chose je vais chercher ENIGMA 5, de la physique, ça fait un mois que j'en ai pas fait, ce n'est plus de mon ressort

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Je suis tombée dessus hier en me renseignant sur les équations fonctionnelles

Ouaaaaiiis mais c'est pas pareil!   Moi je regarde les blanqués après avoir trouvé la solution, juste histoire de pas poster si quelqu'un a déjà produit la démo, ou de voir si j'ai oublié un cas/fait une erreur (Je m'enfonce, je m'enfonce, je sais....)

J'ai réfléchi à une, je crois avoir trouvé la réponse, mais la démo m'échappe en partie (et en plus je suis pas sûre que ce soit une inédite^^ - ni qu'elle soit très intéressante ), donc j'avais un peu de culpabilité à la présenter au grand jour, mais puisque tu m'y invites si gentiment
J'te laisse la poster? C'est toi le spécialiste après tout!
Déterminer toutes les fonctions f de R dans R telles que pour tout x et y réels, fof(x+y)=f(x+f(y))
La réponse est pas trop dure à trouver, c'est la démo qui l'est plus à mon goût

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Comment ça on tartine sur le sujet? On a le droit de se raconter nos vies dans un topic d'équation fonctionnelle, non? Et Kévin a raison, c'était sympa de partager ta trouvaille, ça a réussi à me calmer pendant 2/3h

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Comment t'as deviné que j'étais en manque? :D
Les symptomes doivent pas trop se voir pourtant de là où tu es!
(pour le ressort, cette fois ci tu n'as plus l'excuse de l'heure! )

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[

Suffit de lire quelques dialogues entre mikayaou et sarriette et on est rodé

Et ça va si "ça a réussi à te calmer pendant 2/3h"

Pour le ressort aussi nul que pour Tak ? Une note de 1 à 10

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qu'est ce qu'ils ont mes dialogues avec mikayaou?

on discute autour d'une tasse de café , rien de plus ...

moi je l'ai trouvée très bien celle du ressort, non vraiment , vu l'heure, mais j'ai pas osé rebondir pour te laisser bosser

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Ah ben j'ai du mal interprêter

En ce qui concerne le ressort, il me donne du fil à retordre ! (non ? toujours pas ? Bon j'arrête café rien )

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he ta raison j'ai tout faux. désolé! j'aurais au moins tenté....