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Je trouve trois fonctions qui vérifient l'équation fonctionnelle :



Merci pour l'exo !

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Bah, un exercice de Kévin, il a trouvé des solutions, ... je dirais que le niveau ne doit pas excéder celui d'un simple 2nde.

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Je n'arrive à faire aucun de ses exos... c'était un up déguisé  

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En fait, tu n'y arrives pas parce que c'est trop simple pour toi. C'est tellement évident que ton cerveau ne veut pas s'attarder dessus et du coup, tu crois que tu n'y arrives pas.

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ce n'est pas que je ne m'y intéresse pas mais je n'ai pas eu le temps de chercher aujourd'hui

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pour a=b=c=d=0, on a f(0)² = 1/2f(0)
donc f(0) =0 ou f(0) = 1/2.
-> f(0) =1/2 alors : a =x, b=c=d=0
(f(x)+1/2)*1 = 1 => f(x) =1/2
-> f(0) =0
on prend : a=x et b=y puis c=d=0
f(x)*f(y) = f(xy)
Pour x =y=1, on a  :f(1) =1 ou f(1) = 0.
--> f(1) = 0
=> f(x) = f(x*1) =f(x)*f(1) = 0
--> f(1) =1 (là c'est chaud )
on prend : c=x et d=1, cela donne f(-x) = f(x) => f paire
donc f(-1) =1, d'ou :
pour x>0, on a : f(x) = f(racine(x)²) = f(racine(x))²>0, et pour x<0, on écrit x = -a, donc de même f(x) = f(-a) = f(a) >0.
Maintenant, on sait que l'ensemble des solutions de l'equation : f(xy) = f(x)*f(y) est : f(x)= A*x^a (avec a dans R) (on passe par le logarithme ...)
Mais f(1) = 1 => A =1
et f paire => a est un entier pair, donc:
f(x) = x^n (avec n pair)
retour à l'equation fonctionnelle, on a en développant, et en utilisant le binome de newton :
(ab)^n + (ad)^n + (cb)^n +(cd)^n = sigma((kparmi n)(ab)^k*(cd)^n-k, k=0..n) + sigma ((k parmi n) (ad)^k(bc)^(n-k),k=0..n)
après simplification:
sigma((kparmi n)(ab)^k*(cd)^n-k, k=0..n-1) + sigma ((k parmi n) (ad)^k(bc)^(n-k),k=0..n-1) =0 , dans ce cas le seul entier pair possible est n=2, on conclut que :f(x) = x².
réciproquement on montre que ces fonctions vérifient l'equation fonctionnelle, d'où le résultat

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désolée,je n'ai eu que 5 minutes hier et j'ai trouvé les mêmes solutions :je viens de lire les blankés
bonne journée

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1) On trouve assez facilement en prenant a = b = c = d = 0 puis a = x , b = c = d = 0 que x --> 1/2 est solution

2) On trouve aussi que la fonction nulle est solution

3) On trouve aussi que x --> x² est solution en cherchant n tq :

(aⁿ+cⁿ)(bⁿ+dⁿ) = (ab-cd)ⁿ+(ad+bc)ⁿ

Et :  (ab-cd)²+(ad+bc)² = (ab)²+(cd)²+(ad)²+(bc)² = (a²+c²)(b²+d²)

J'espère ne pas avoir oublié de solution

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Ce sont effectivement les 3 uniques solutions, mais actuellement je ne suis pas sur mon PC (petit problème technique ) mais dès qu'il sera à nouveau "en état de marche", je poste la démo "officielle" D'ici là, j'espère que je ne vous manquerais pas trop

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T'as plus d'excuse pour te coucher tard maintenant

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Désolée pour l'aide en CamL, on reprend dès que possible

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Non non rassure toi

_{C'est bon je Tak-ine (ça faisait longtemps )}

A+