Bonjour infophile et autres amoureux des maths,

Je propose de donner au paramètre a la valeur 2.  La fonction f(x) est la fonction identité : f(x) = x.

Jean-Louis  

Salut Jean-Louis

et bienvenue à toi, tu as peut-être raison mais tu as oublié de blanké, en sélectionnant ton texte et ensuite de cliker sur le point d'interrogation .
Sache le pour une prochaine fois

Kuid

bonjour infophile,

 Cliquez pour afficher

je me suis apercu que ce n'est pas la première fois que tu postes des équations fonctionnelles. Avide de curiosité j'aime plutot bien ce genre d'exercice seulement j'aimerais savoir comment procéder pour la résolution d'un tel exerice... (et est ce que ca se voit en terminale ?)

bonjour,

 Cliquez pour afficher

Faisons l'hypothèse (c'est de la triche je sais ) que f est linéaire.
Alors f(x)=b*x
De plus, f(0)=0, et en prenant y=0 on a
f(x²)=(f(x))²
donc b=b², donc b=0 ou 1
maintenant prenons x=0 :
f(y+f(y))=a*y
b(1+b)=a
donc a=0 (si b=0) ou 2 (si b=1).
On a ainsi démontré que a=0 et a=2 étaient les seules valeurs telles qu'il existe une seule fonction _linéaire telle que etc..., si a=0 c'est la fonction nulle, si a=2, c'est la fonction identité...
Maintenant il faut élargir au cas où f n'est pas linéaire...

Jean-Louis >

 Cliquez pour afficher

Bienvenue

C'est la bonne réponse !

 Cliquez pour afficher

J'aime beaucoup ce genre d'exercice, on ne voit pas ça en Terminale, c'est plutôt un extra. Tu veux que je t'aiguilles ?

 Cliquez pour afficher

Place toi dans le cas général, tu triches

Allez un coup de pouce pour commencer

Salut,

 Cliquez pour afficher

infophile, notre futur elhor? ( la même facon de donner les indices   )

Euh.. pas d'hypothéses sur la monotonie de f? et f: IR->IR je suppose?

Salut

Est-ce que tu sais ce qu'est une surjection ?

Oui,  

 Cliquez pour afficher

La fonction f  est  surjective si tout f(x)  possède au moins un antécédent  x??

Voila donc tu peux essayer de montrer la surjectivité de f

Comment trouves-tu ça ?

Fais les choses dans l'ordre, on ne peut le déduire que par la suite.

Mathématiquement la surjection ça dit quoi ?

Euh.. Soit f une fonction,  c admet 2 antécédents x1 et x2, car f(x1)=f(x2)=c non?

Pas trop bien compris la question

Kuid

C'est pas clair...

Soit f une application de E dans F, f est dite surjective si et seulement si :



Maintenant sers toi de la définition

le E a l'envers sa veut dire quoi? "pour tout?"

Kuid

"Il existe"

Ok

Bonjour

 Cliquez pour afficher

Pour montrer la surjectivité, faut-il commencer à montrer que 0 admet un antécédent par f? Et si oui, pourrais-je avoir encore un indice? Sinon pourrais-je avoir encore un indice?

Salut Kevin

 Cliquez pour afficher

En effet, tu es le futur elhor! Regarde: Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x et ça ne résout qu'un cas particulier!

Camélia >>

 Cliquez pour afficher

Je t'ai devancé.

Bonsoir

Pour la surjectivité il suffit de faire un changement de variable.

Camélia >

 Cliquez pour afficher

Je n'arrive pas à la cheville d'ehlor . Et je n'ai pas réussi à résoudre complètement le problème, j'ai eu le droit à quelques indices.

D'accord, j'ai mis du temps mais j'ai réussi la surjectivité

 Cliquez pour afficher

Avec x=0, on obtient : y, f(y+f(y))=f(0)²+ay.
Si a=0, l'équation a au moins deux solutions : les fonctions constantes de valeur 0 et 1. On a donc a non nul. On en déduit que {f(0)²+ay; y}= (se démontre aisément par double inclusion).
Or d'après l'égalité f(y+f(y))=f(0)²+ay, {f(0)²+ay; y}Im(f), et on a évidemment im(f) donc par double inclusion, Im(f)=, c'est-à-dire f est surjective.

infophile:

 Cliquez pour afficher

ouais je veux bien que m'aiguille....

Salut infophile !

 Cliquez pour afficher

J'ai cherché la solution de cette équation la nuit où tu l'as postée et tout ce que j'avais alors réussi à démontrer, c'était que f était surjective (je ne poste pas la démonstration car j'ai vu que certains cherchait à la démontrer) et que 0 n'est pas solution ... 2 me semblait en effet être une solution mais je ne l'avais pas prouvé.
Je n'ai pas eu le temps de m'y remettre depuis mais je le ferai probablement aujourd'hui.
Tu aurais peut-être une autre petite indication à nous donner que la surjectivité ?

Bonsoir

Pour la surjectivité voila comment vous auriez pu faire :

 Cliquez pour afficher

On note la propriété

On a immédiatement en utilisant le second membre :



Donc est surjective.

CQFD

Personne ?

Trop dure ? :provoc:

C'est que tout le monde s'en moque: trop simple!

Non je plaisante.

Non moi je plaisante pas schumi C'est vraiment trop abordable

Bon tant pis

Kévin>

 Cliquez pour afficher

Que représente z dans ta correction ( je regarde car j'ai lamentablement séché )

Kuid > z c'est un réel quelconque

Bonjour

 Cliquez pour afficher

Pour la surjectivité c'est pas la peine d'aller s'embêter avec des formules comme ça
On peut simplement dire que si a est non nul, alors en faisant varier y dans R tout entier et en fixant x, alors le membre de droite décrit R, par conséquent le membre de gauche aussi, d'où le résultat.

Pas faux Fractal . Tu t'y colles ?

Ok Kuid

Je n'oublie pas l'EF Kévin

même si je bloque un peu..

Kuid

Up

Juste pour te dire que j'ai cherché aussi, mais toujours pas trouvé
Enfin bref, je ne l'ai pas oubliée.

Salut xtasx

Tu as réussi l'injectivité avec l'indice que j'ai fourni ?

Non mais bon "injectivité" c'est un bien grand mot.
Ce serait plutôt "injectivité de la restriction de f à la partie de son ensemble de définition sur lequel elle est à valeurs négatives ou nulles".

Oui mais ensuite on se sert de la parité pour l'injectivité tout court

Mais une chose à la fois, fais voir ce que tu as fait

Heu ... la surjectivité ?
Bon là je vais bosser mais je regarderai ça aussi dans la journée, promis !

xtasx >

 Cliquez pour afficher

C'est peut-être une piste mais il y a plus simple si tu commences par exploiter l'indice