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 Défi : équation fonctionnelle simple 
Posté par 
infophile  01-07-07 à 22:33
Bonjour 

Difficulté : 

Niveau : 

Citation :
Déterminer toutes les fonctions  définies de  dans  telles que :

Réponse blanquée svp.

 Posté par 
simon92re :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:34
et le niveau? 
 Posté par 
simon92re :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:34
pardon, ca c'était pas affiché
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:34
Tu sais lire simon ? 
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:35
Bon tu n'as plus le choix, tu dois participer 
 Posté par 
simon92re :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:36
flute, je trouve pas 
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:38
Si tu vas trouver c'est pas dur 
 Posté par 
simon92re :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:39
je cherche, je cherche...
 Posté par 
simon92re :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:42
alors, je dis, 
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f(x)=x+1 
 Posté par 
simon92re :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:44
explication: 
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j'ai vite remarqué qu'il fallait une fonction polynome, puis que le plus grand terme était x donc une fonction affine, j'ai dit, f(x)=x+a, j'ai trouvé x+y=ay+ax donc a=1.

y'a peut-être d'autres solutions
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:44
simon >

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Oui 
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:45
simon >

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Oui mais j'ai dit "toutes les fonctions" donc ta réponse et explication ne sont pas complètes 
 Posté par 
simon92re :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:46
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ouf... 
 Posté par 
simon92re :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:46
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quoi? il manque des solutions?
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:47
simon >

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Ton explication montre uniquement que si f est une fonction affine alors f(x)=x+1. Mais c'est tout 
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 22:53
Bonsoir,

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Posons  et  on a:

Si  alors il n'existe pas de solution

Si  alors 

Donc la solution de l'équation fonctionnelle est la fonction 

Est ce juste ? 
 Posté par 
infophile  01-07-07 à 22:56
moctar >

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Je ne comprends pas d'où tires-tu f(0)=1 ?
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 23:02
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de l'expression  en remplaçant x par 0

J'ai dit une bétise ? 
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 23:04
moctar >

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Non c'est bon, on n'a pas la même méthode mais ça me semble correct 
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 23:07
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ok.Merci 
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 23:35
Je vous en poste encore une ou deux simples et la prochaine fois je corse un peu 

Citation :

Déterminer toutes les fonctions  telles que 

Citation :
Déterminer toutes les fonctions  telles que 

 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 23:37
ok,je m'y mets 
 Posté par 
simon92re :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 23:53
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  y'a déjà pour la 1 la fonction nulle et pour la deux aussi d'ailleurs
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   01-07-07 à 23:58
simon >

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Il ne suffit pas de vérifier qu'une fonction vérifie l'équation, mais les trouver toutes 
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 00:08
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(1)

Posons 

Posons  et 

(1)

or  donc 

La seule solution de l'équation fonctionnelle est la fonction 

 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 00:17
moctar >

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Oui 
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 00:35
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Pour y=0 on a 

 ou 

Donc la fonction  est solution de l'équation.

Si ,posons 

Donc on a 

 ou 

or  donc 

Les solutions de cette équation sont les fonctions  et 
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 00:43
moctar >

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It's good 

Another one ?
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 00:46
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oui je veux bien.

Merci 
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 00:57
Allez j'en poste encore deux simples et ensuite...

Citation :
Déterminer les fonctions  telles que 

 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 01:21
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je trouve 

Est ce bien cela ? 
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 01:24
moctar >

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Toutafé 
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 01:27
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ok,je vais essayer de faire une démonstration car c'était juste une conjecture 
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 01:29
moctar >

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D'accord 
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 01:48
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je bloque sérieusement dans la démonstration...
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 01:49
moctar >

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Tu veux une piste ? 
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 01:51
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oui 
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 02:00
moctar >

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Essaie de trouver la valeur de f(1) 
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 02:13
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f(1)=0 mais je ne sais pas où l'appliquer
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 02:17
moctar >

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Oui, montre maintenant que f est bijective.
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 02:36
Je quitte l' 
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 02:39
ok,je rédigerai ma solution demain car là je n'y vois plus rien 

Bonne nuit 
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 02:41
Ok 

Merci à toi aussi 
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 10:01
Bonjour Infophile

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Montrons que f est surjective

Soit 

on a 

Donc il existe un entier relatif y tel quelquesoit 

Donc f est surjective.

Montrons que f est injective.

Soient 

Donc f est injective

(1)(car f est bijective)

Les fonctions affines sont les seules fonctions définies de  vérifiant (1).

Donc f est de la forme 

Donc la fonction  est la solution de l'équation fonctionnelle.

ça manque de rigeur,non ? 
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 10:19
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je reformule la conclusion pour la surjection:

c'est quelquesoit ,il existe au moins  tel que 

...
 Posté par 
gui_toure :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 16:25
Bonjour à tous 

Première fois que je ne triche pas en regardant les blankés 

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Il s'agit de résoudre 

(i) On pose pour  : 

On a

D'où

(ii) On pose  : 

On a

(iii) Or

  ou 

Or 

Conclusion : Cette équation fonctionnelle admet pour unique solution dans 

 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 17:18
moctar >

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C'est bon 
 Posté par 
infophilere :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 17:20
guitou >

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Tu t'es trompé d'équation lol 
 Posté par 
moctarre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 17:51
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ok merci et félicitations pour le bac 
  Posté par 
Takre :  Défi : équation fonctionnelle simple   02-07-07 à 18:46
Bonjour,

moctar > 
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j'me trompe peut-être, mais pour la démonstration de la bijectivité, il suffit de dire que f² est bijective, non?

infophile > Une autre, une autre!