Défi: espaces métriques

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Défi: espaces métriques
Posté par 
Camélia   09-09-07 à 15:20
Bonjour à tous! 

Ce défi ne demande que la connaissance des définitions des mots qui apparaissent et un peu d'imagination!

Trouver une partie E de R2, dans laquelle pour la distance usuelle euclidienne, il existe une boule ouverte qui est fermée mais qui n'est pas une boule fermée et une boule fermée qui est ouverte mais n'est pas une boule ouverte!
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veledare : Défi: espaces métriques  10-09-07 à 12:57
bonjour Camelia,

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 Kaiser et Cauchy n'étant pas à l'horizon je me lance pour que ton défi ne reste pas sans echo:

pour E je propose l'union disjointe d'une boule ouverte BOet d'une boule fermée BF

on montre d'abord que BFest ouverte dans E,il en résulte que son complémentaire dans E c'est à dire BOest fermée dans E

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Camélia re : Défi: espaces métriques  10-09-07 à 15:02
Bonjour Veleda

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Si tu prends l'union disjointe sans plus de précisions, il y a des chances que la boule ouverte soit aussi une boule fermée et réciproquement et de plus, le complémentaire de l'ouverte sera fermé, donc tu dis seulement que la boule fermée est fermée. A moins que j'aie mal compris? Mets un exemple "concret".
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veledare : Défi: espaces métriques  10-09-07 à 16:05
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BO:boule ouverte de R² de centre(0,0) de rayon 1

BF:boule fermée de R² de centre(4,0) de rayon 1

E=BOBF

si a(x,y) est un point  quelconque de BF la boule ouverte de E de centre a et de rayon r1 est bien dans BF? donc BFest ouverte dans E

édit Océane
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veledare : Défi: espaces métriques  11-09-07 à 14:31
bonjour Océane

merci pour le blanké,je n'ai constaté qu'hier soir que j'avais répondu"en clair"j'espère que je n'ai pas"saboté"le défi de camélia 
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Camélia re : Défi: espaces métriques  11-09-07 à 14:38
Bonjour veleda

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Dans ton exemple, la boule ouverte est bien fermée et la boule fermée est bien ouverte. Mais, BO est égale à la boule fermée de centre (0,0) et de rayon 2 de E et BF est aussi égale à la boule ouverte de centre (4,0) et de rayon 2. Donc... ce n'est pas encore ça!
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veledare : Défi: espaces métriques  11-09-07 à 22:02
bonsoir camelia

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je ne suis pas spécialiste ,je rechercherai demain bonne soirée
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veledare : Défi: espaces métriques  11-09-07 à 23:30
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j'ai compris ce qui ne va pas mais je n'ai pas encore trouvé,si je prends les deux boules 

tangentes BFn'est plus ouvert dans E,je verrai demain
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perroquetre : Défi: espaces métriques  13-09-07 à 00:10
Bonsoir, Camélia

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Je choisis pour E la réunion:

de la droite d'équation y=0, privée des points A=(1,0) et B=(-1,0)

du point C=(0,1)

du point D=(0,-1)

La boule ouverte de centre 0 et de rayon 1 est bien une partie fermée de E, mais n'est pas une boule fermée de E.

La boule fermée de centre 0 et de rayon 1 est une partie ouverte de E, mais n'est pas une boule ouverte de E

(si je n'ai pas fait d'erreur)

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Camélia re : Défi: espaces métriques  13-09-07 à 14:13
Bravo perroquet; c'est exactement ma réponse, comme quoi les grands esprits...