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Mmh je reste assez sceptique quant à ton indice, il me parait plus simple de montrer que le morphisme est nécessairement différentiable, puis de remarquer qu'on a un problème de Cauchy

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J'aime bien quand même mon indice... la méthode n'est probablement pas unique!

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Ah oui, non c'etait pas une critique...juste une autre voie

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On se donne donc un sous groupe a un paramètre de GL(n,K), tout d'abord il est différentiable, en effet pour a>0,

Comme l'intégrale de droite est clairement derivable par rapport à s, il suffit juste de montrer que pour un certain a>0, est inversible or pour a assez proche de 0 f est proche de 1 et donc donc son intégrale aussi et donc comme GL(n,K) est ouvert, l'intégrale est inversible.
Maintenant il ne nous reste plus qu'a dériver f, et l'on a df/dt=lim 1/s (f(t+s)-f(t))=f(t)X. Où X est df/dt(0). Comme exp(tX) et f verifient la meme equa diff.

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exp realise un diffeomerphise d'un voisinage de gl(n,K) contenant 0 sur un voisinage de 1 dans GL(n,K) comme f est continu il existe ]-t0,t0[ tel que f(t0) est dans ce voisinage, comme exp est un homomorphisme de groupe (lisse!) on peut ecrire f(t)=exp(log(f(t)) pour t dans ]-t0,t0[, maintenant comme f est non trivial alors il existe t1 tel que f(t1) ne soit pas 1, et f(nt1)=f(t1)^n=exp(log(f(t1))^n, comme les matrice log(t1) commutent toutes entre elles ca vaut exp(nlog f(t1)), ensuite f(t1)=f(t1/2)² et donc f(t1/2)=exp(1/2 log(f(t1)) parce que exp est bijective sur le voisinage ou on se place, par un raisonnement standrard et classique a base de densité des dyadiques par exemple on montre que sur ]-t0,t0[ f(t)=exp(tlog(f(t1)), on conclut en remarquant que t peut s'ecrire comme somme de termes dans ]-t0,t0[