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En notant [ab] le nombre de 2 chiffres en base 10, avec a comme chiffre des dizaines et b comme chiffre des unités.

Avec a, b et c entiers dans [1 ; 9] (les 0 sont interdits)

[ab] = 10a + b

[bc] = 10b + c

[ab]/[bc] = a/b
(10a + b)/(10b + c) = a/c

c.(10a + b) = a.(10b + c)

10ac + bc = 10ab + ac
10ab = 9ac + bc
c = 10ab/(9a+b)

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9a+b doit être multiple de 2 et/ou de 5

Si 9a+b est multiple de 2 et pas de 5, alors c est multiple de 5, soit c = 5 comme seule valeur possible.
On a alors: 1 = 2ab/(9a+b)
9a+b = 2ab
a = b/(2b-9)
b >= 5
Solutions possibles:
a = 2, b = 6 et c = 5
a = 1, b = 9 et c = 5


Si 9a+b est multiple de 10.
on a alors:
c = 10ab/(10n) avec n dans [1;9]
c = ab/n (et avec 9a+b multiple de 10)

n = 1 --> a = b = c = 1
n = 2 --> 9a+b = 20 :  a=2 , b = 2, c = 2
n = 3 --> 9a+b = 30 :  a=3 , b = 3, c = 3
n = 4 --> 9a+b = 40 :  a=4 , b = 4, c = 4
n = 5 --> 9a+b = 50 :  a=5 , b = 5, c = 5
n = 6 --> 9a+b = 60 :  a=6 , b = 6, c = 6
n = 7 --> 9a+b = 70 :  a=7 , b = 7, c = 7
n = 8 --> 9a+b = 80 :  a=8 , b = 8, c = 8
n = 9 --> 9a+b = 90 :  a=9 , b = 9, c = 9

Si 9a+b est multiple de 5 et pas de 2, alors c est multiple de 2.
c = 10ab/(9a+b)

9a+b = 15 --> a=1 et b = 6 et c = 4
9a+b = 25 --> a=2 et b = 7 et c pas entier --> impossible
9a+b = 35 --> a=3 et b = 8 et c pas entier --> impossible
9a+b = 45 --> a=4 et b = 9 et c = 4
9a+b = 55 --> a=6 et b = 1 et c pas entier --> impossible
9a+b = 65 --> a=7 et b = 2 et c pas entier --> impossible
9a+b = 75 --> a=8 et b = 3 et c pas entier --> impossible
9a+b = 85 --> a=9 et b = 4 et c pas entier --> impossible
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Groupement des résultats:

a=2, b = 6, c = 5
a=1, b = 9, c = 5
a=1, b = 1, c = 1
a=2 , b = 2, c = 2
a=3 , b = 3, c = 3
a=4 , b = 4, c = 4
a=5 , b = 5, c = 5
a=6 , b = 6, c = 6
a=1 , b = 6, c = 4
a=4 , b = 9, c = 4
a=7 , b = 7, c = 7
a=8 , b = 8, c = 8
a=9 , b = 9, c = 9
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Sauf distraction.  

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(10a+b)/(10b+c) = a/c
10ac + bc = 10ab + ac
9ac=b(10a-c)

9 doit diviser b(10a-c) : soit b = 9, soit b=3 ou 6 et 10a - c = 3k, soit 10a - c = 9k

avec b=9 il reste ac = 10a - c donc 10a = c(a+1)
5 doit diviser c(a+1) sachant que c varie de 1 à 9 et a+1 de 2 à 10 :
soit c=5, alors 2a = a+1, a = 1 : 19/95 = 1/5
soit a+1 = 5, a = 4, donc 8 = c : 49/98 = 1/2
soit a+1 = 10, a =9, donc c aussi : 99/99 = 9/9

avec b=6 il reste 3ac = 2(10a - c), c'est à dire 20a = c(3a+2)
5 doit diviser c(3a+2) sachant que c varie de 1 à 9 et 3a+2 de 5 à 29
soit c=5, alors 4a = 3a+2, donc a = 2 : 26/65 = 2/5
soit 3a+2 = 5, a = 1, donc 4 = c : 16/64 = 1/4
soit 3a +2 = 10 : impossible
soit 3a+2 = 15 : impossible
soit 3a+2 = 20 : a=6 et c aussi : 66/66=6/6
soit 3a + 2 = 25 : impossible

avec b = 3 il reste 3ac = 10a - c donc 10a = c(3a+1)
5 doit diviser c(3a+1) sachant que c va de 1 à 9 et 3a+1 de 4 à 28
soit c = 5 : 2a = 3a + 1 impossible
soit 3a+1 = 5 : impossible
soit 3a+1 = 10 : a = 3 et c aussi : 33/33 = 3/3
soit 3a+1 = 15 : impossible
soit 3a+1 = 20 : impossible
soit 3a+1 = 25 : a = 8 et 80 = 25c : impossible

reste les autres valeurs de b,
mais j'ai la flemme .... on verra plus tard, il y a déjà les cas triviaux 11/11, 22/22, etc.

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L'équation s'écrit (10a+b)c=(10b+c)a soit 10a(c-b)=c(a-b).
On en déduit facilement que si deux des entiers a,b,c sont égaux alors les trois sont égaux.
Intéressons nous aux solutions non triviales, on supposera donc a,b,c distincts.
L'équation s'écrit encore (9a+b)c=10ab.
Premier cas: c=5
on en déduit 9a=(2a-1)b d'où, puisque a est premier avec 2a-1, 2a-1 divise 9, donc 2a-1 vaut 1 ou 3 (a=5 est exclu); deux solutions: 19/95=1/5 et 26/65=2/5

Deuxième cas: c5 donc 5 divise 9a+b, donc 5 divise a-b.
Soit b=a-5 qui entraine (2a-1)c=2a(a-5) d'où 2a-1 divise a-5>0: impossible car 2a-1>a-5.
Soit b=a+5 qui entraine (2a+1)c=2a(a+5) d'où 2a+1 divise a+5, donc 2a+1a+5, donc a4; seuls a=1 et a= 4 conviennent d'où deux autres solutions: 16/64=1/4 et 49/98=4/8.

Conclusion: il y a les 9 solutions triviales avec a=b=c et 4 solutions non triviales:
19/95=1/5 , 26/65=2/5 , 16/64=1/4 et 49/98=4/8.