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Il y a égalité pour f(x)=-x³/6+Ax+B-sinx

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Tout à fait d'accord avec toi, mais l'égalité est trop simple à résoudre, c'est pour ça que j'ai mis une inégalité

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une piste qui n'aboutit à rien

je trouve après double intégration avec t positif:

f(x)-f(0)-f'(0)x+t^3/6>-sint+1 .... c'est faux? c'est ça?

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Qu'est-ce que c'est t? C'est pareil que x? Sinon c'est de toute façon faux, parce qu'on ne peut pas intégrer une inégalité .

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C'est t en tout.. Non en peut, si la borne inférieure est > que la borne supérieure . J'ai intégrer entre 0 et t avec t positif... la dernière ligne que j'ai envoyée peut être écrite avec n'importe quelle variable

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J'avoue que je ne comprends pas trop... C'est quoi l'expression de f au final? Moi je veux une expression de f en fonction de x, que vient faire le t?
D'ailleurs il me semble que si tu intègres entre 0 et t, il ne doit plus te rester de x dans l'inégalité car c'est une variable qui devient muette.

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Mais à la fin ça n'importe quelle variable on traite, sinon c'est du anarchique ce que je dis.. Je vais essayer à trouver une solution à l'équation différentielle: f"(x)=sinx-x où f est une solution puis réfléchir après (c'est une bonne piste ou non d'ailleurs )

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Ce n'est pas nécessairement une mauvaise piste

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C'est mieux de dire que ce n'est pas une bonne piste puisque je vais passer une heure avec elle sans rien trouver.. Vaut mieux que je n'essaie pas

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De toute façon, l'équa diff f''(x)+x = sin(x) se résoud trivialement en 3 secondes, mais ce n'est pas sûr que ça aide tant que ça pour résoudre l'inéqua diff.

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Oui je l'ai résolue mais je me suis planté devant elle

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Un essai:
La fonction f: x-->-x^3/6-sin(x)+g(x) où g est une fonction de classe C² telle que g"(x)>0 sur R répond au problème. Maintenant, est-ce ce qui est demandé ?

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Bravo, c'est tout à fait ça . Pour faire encore plus joli, tu peux dire "avec g de classe C2 strictement convexe sur R".
Après il faut montrer que ce sont bien les seules, mais ça je suppose que tu l'as déjà fait.