Salut,

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Si c'est évident que n est premier.
Réciproquement, n suppose n premier. On posera n=p pour être plus familier.
p est premier donc Fp=Z/pZ est un corps.
Tout élément de {2,...,p-2} admet donc un unique inverse dans Fp. On multiplie bourrinnement tout les couples (élément-inverse) ainsi obtenu.
Ce qui nous donne . Reste à multiplier par p-1 pour conclure.

Vous êtes déjà à l'arithmétique? Eh ben on peut pas dire que vous perdez du temps vous.

Salut Ayoub

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Oui c'est bon ! Pour être plus rigoureux il faudrait quand même montrer que deux éléments n'ont pas la même inverse mais je t'accorde que c'est trivial

Une deuxième preuve?

Erfff >

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C'est bon, ça revient au même que ayoub

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Pourquoi le sens direct est-il évident au fait? Pour la deuxième preuve, il faut voir du côté des polynômes dans Z/nZ

Jord >>

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Pour le sens direct, je vois pas trop ce qu'il y a à détailler. Cette congruence implique que tout élément de {1,...,p-1} est premier avec p non?

Salut

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d'abord on suppose n premier n premier. l'équation x²=1 a deux solutions dans Z/nZ qui sont 1 et -1

donc chaque élt de 2 jusqu'à p-2 a son inverse dans ce même ensemble

donc , on multiplie par n-1 on a:

d'où

pour l'autre sens: le produit jusqu'à n-1 est inversible (car -1 est inversible dans Z/nZ)

on en déduit facilement que chaque elt de Z/nZ aura un inverse

Z/nZ est un corps donc n premier

Bonsoir,

Personne a fait cette démonstration pour le sens droite-gauche :

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Soit p premier,
tout x Z/pZ* est racine du polynôme X^p-1-1 car Z/pZ* est un groupe multiplicatif.

On en déduit que dans Z/pZ.

Soit en identifiant le terme constant (p-1)! = -1 [p]

Je la trouve rigolote cette démo.

Salut,

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Je pense que c'était la deuxième démonstration demandée par Jord. C'est sympa comme démo.

bonjour Nightmare
si n n'est pas premier, (n-1)! est divisible par un diviseur de n autre que 1, donc (n-1)!+1 ne l'est pas et a fortiori n'est pas divisible par n
propriété qui va servir ici : ab et (n-a)(n-b) ont le même modulo n
si n est premier, à chaque nombre a qui lui est inférieur, il) y a un et un seul nombre b inférieur à n tel que ab = -1 modulo n
on peut répartir ces paires en trois groupes
1) les nombres s associés à eux-mêmes; à chacun, correspond un autre nombre n-s, également associé à lui-même; le produit s(n-s) est 1 modulo n, puisque s² = -1 modulo n
le produit de ces solitaires, groupés par 2 est donc 1 modulo n
2) les paires dont la somme n'est pas n; à chacune de ces paires c et d, correspond la paire n-c et n-d (c,d, n-c, n-d sont quatre nombres différents); le produit de ces paires est -1*-1 = 1 modulo n
le produit de toutes ces paires, groupées par 2 est donc 1 modulo n
3) la paire dont la somme est n; elle est unique : 1-n; en effet, soit m et n-m une telle paire; m(n-m) = n-m² = -1 modulo n; m² = 1 modulo n; m²-1 est divisible par n; m+1 ou m-1 est divisible par n (puisque leur pgcd 1 ou 2 et que quand n = 2, la paire est de toute façon unique) ce qui n'est possible que si m+1 = n ou m-1 = 0
le produit des nombres impliqués dans les catégories 1) et 2) = 1 modulo n
le produit de la paire {1;n-1} = -1 modulo n
le produit de tous les nombres de 1 à n-1 est donc -1 modulo n