Bonsoir,

qu'est-ce que pn?

pn c'est le produit de p et n

La suite est définit par




est-ce bien cela?

oui c'est ça

D'accord, autant pour moi je croyais que n indexait p. J'y réfléchis.

Non pourquoi ?

ça ne marche pas car si tu remplace Un par p^n , la somme ne te donne pas p*n

A Nightmare,

Rien avoir avec le sujet.

Quelles sont les balises à mettre pour cacher un message ?

Et pourtant,
donc

Oups, je viens de voir en effet que c'est , au temps pour moi.

Antho07 > [ blank][ /blank]

Non , c'est la somme des racines de Un et non pas de Uk

Une petite idée ?

salut

juste une question:
^2
3

je sais ce que veulent dire ces dessins

mais

¹

c'est quoi?

l'identité non?

Pour






donc

damned !!

des fois je suis aussi bête que j'en ai l'air !!

Salut, c bon vous avez bien compris la définition de la suite , alors une idée

vous trouvez ?

Bonjour ;

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Si pour on pose on vérifie assez facilement que les sont des bijections strictement croissantes
de chacun des deux intervalles et sur lui même.

et ainsi d'une part la suite est bien définie

et d'autre part on a immédiatement deux cas triviaux de convergence :

nulle si .

si .

avec

si .

si .

Cas

Comme tous les sont supérieurs à on a pour tout :



d'où ce qui prouve que

Cas

D'une part comme tous les sont inférieurs à on a , en fixant un entier arbitraire ,

pour tout ,

qui s'écrit aussi

et comme le terme de droite (qui est négatif) tend vers quand puisque majoré en valeur absolue par

on peut trouver un entier tel que on a

ce qui donne ou encore

et donc

D'autre part en écrivant

on voit que pour tout , c'est à dire

la suite étant alors décroissante elle converge vers un réel qui vérifie

finalement , l'entier étant arbitraire , on voit que _{sauf erreur bien entendu}

Bonjour,

Il y a une démonstration très courte avec le théorème de Césaro:

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Je reprends les notations d'Elhor: et est l'unique réel >0 tel que .
Pour x fixé, la limite quand n tend vers + de vaut 1 donc par le théorème de Césaro la limite quand n tend vers + de vaut 1 également.

Soit p>1: pour tout x>1 il existe tel que pour on ait ce qui entraine, puisque est croissante, que pour ; la limite de est donc +.

Soit p<1: pour tout x<1 il existe tel que pour on ait ce qui entraine, puisque est croissante, que pour ; la limite de est donc 0.

En fait on peut très bien se passer de Césaro car il est plus rapide d'utiliser la solution astucieuse d'Elhor (elle marche aussi dans le cas p<1).

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Pour x>1 : d'où en remplaçant x par dans le cas p>1: qui tend vers + quand n tend vers + (je note .

Pour x<1 : d'où en remplaçant x par dans le cas p<1: qui tend vers 0 quand n tend vers +.

Bravo jandri !

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Je n'ai pas vu qu'on pouvait faire de même pour Le cas et c'est d'ailleurs la cause de ma preuve tirée par les cheveux

Bonjour,

Pour répondre à une question d'Elhor j'ai déterminé un équivalent de U_n mais seulement dans le cas p>1, je ne vois pas comment adapter ma démonstration au cas p<1.

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De on déduit d'abord que d'où .

On utilise le lemme suivant: si a>0 alors .

Soit >0. En choisissant d'abord a=p on obtient pour .
En choisissant ensuite a=p-1- on a d'où pour .
On a donc montré que .

Pour la démonstration du lemme j'utilise la comparaison à une intégrale et l'intégration des équivalents; c'est un peu technique et long à rédiger.

Bonjour,

Je ne pense pas qu'il soit possible de trouver un équivalent de U_n dans le cas p < 1 mais j'ai obtenu un équivalent de ln(U_n):

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Pour a>0, avec g bijection de ⁺ sur ]0,1].
En prenant a égal à q=g^-1(p) on obtient e^-nq < U_n.

D'autre part, qui a pour limite g(a) quand n tend vers +.
En prenant a < q on obtient pour n assez grand: U_n < e^-na.
On en déduit que la limite de est égale à -q (ou encore U_n^1/n a pour limite e^-q).

Numériquement, pour a=1/2 on obtient q=0,267 environ et pour n=100: égal à -0,271 environ.