défi lycée : inégalité

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défi lycée : inégalité
Posté par 
xunil  02-07-07 à 11:44
bonjour,

un petit défi pour entretenir la forme:

Je vous propose deux réels strictement positifs a et b tels que a+b=8.

Je vous demande de démontrer que:

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moctarre : défi lycée : inégalité  02-07-07 à 13:26
Bonjour ,

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D'après l'inégalité arithmético-géométrique:

 Posté par 
elhor_abdelali défi lycée : inégalité.  02-07-07 à 13:37
Bonjour xunil ;

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On a 

et comme 

on voit que    (sauf erreur)
 Posté par 
xunilre : défi lycée : inégalité  02-07-07 à 13:39
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oui moctar  je suis d'accord 
 Posté par 
moctarre : défi lycée : inégalité  02-07-07 à 13:42
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ok.Merci 
 Posté par 
xunilre : défi lycée : inégalité  02-07-07 à 13:44
elhor_abdelali :

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je te fais confiance car honnetement je ne vois pas comment tu as factorisé l'expression... si tu veux bien m'expliquer 

moctar:

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de rien (je cherche encore pour les limites mais t'inquiète ca devrait pas tarder.... )
 Posté par 
Fractalre : défi lycée : inégalité  02-07-07 à 13:51
Bonjour 

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Il y a très probablement plus simple  (mais ça me fait réviser les moyennes )

D'après l'inégalité de la moyenne arithmético-quadratique, on a  soit .

Or, d'après l'inégalité de la moyenne arithmético-harmonique, on a  soit .

On en déduit donc que  avec égalité si et seulement si .

Fractal 
 Posté par 
xunilre : défi lycée : inégalité  02-07-07 à 14:05
Fractal: 
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je te fais confiance aussi ... malgré mes recherhes sur le net je n'ai pas réussi à trouver une démo de la moyenne arithmético-quadratique et de la moyenne arithmético-harmonique.... 
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Nofutur2re : défi lycée : inégalité  02-07-07 à 16:34
--->xunil

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A2+B2-2AB>=0

A2+B2>=2AB

A2+B2>=(A+B)2-(A2+B2)

A2+B2>=(A+B)2/2
  Posté par 
Nofutur2re : défi lycée : inégalité  02-07-07 à 16:50
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2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)

Or on sait que la moyenne arthmétique est supérieure a la moyenne géométrique donc :

ab<=(a+b)2/4

Donc :

2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)<=(a+b)/2