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DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
24-05-07 à 14:13

Bonjour tout le monde,

Donc voici un petit problème concernant les intégrales et qui demande un peu de réflexion pour les terminales et peut-être aussi pour des niveaux supérieures. (je ne connais pas bien le niveau )

Sujet: Calcul intégral
Niveau: Terminale et plus
Difficulté: 4 ****


L'énoncé:

Citation :

Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle[a,b] et sa dérivée f' continue sur [a,b] (a<b) tel que: f(a)=0 et 0 \le f'(x) \le 1 pour tout x de [a,b]

Montrer que pour tout x de [a,b]: 4$ \Bigint_a^b f^3(u) du \le (\Bigint_a^b f(t) dt)^2


Bonne chance (un petit indice sera posté après )

Posté par
fusionfroide
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 24-05-07 à 14:14

On vous donne vraiment des exos sympas chez vous...pfff si on avait votre entraînement !

Merci en tout cas !

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 24-05-07 à 14:17

pas de problème

alors tu dois essayer, je pense que tu vas trouver la réponse (est-ce que tu avais demandé une intégrale à calculer dans l'autre topic? )

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 24-05-07 à 14:38

Bonjour,

Dur pour un terminale quand même, et pour un sup aussi

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 24-05-07 à 14:42

Bonjour Rouliane

Oui je sais, avec un indice que je vais poster, ça va être plus faisable

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 24-05-07 à 14:45

Donc je pense que l'indice est essentiel


Citation :


Indice

Montrer d'abord que: Pour tout x de [a,b]: 3$ f^2(x) \le 2\Bigint_a^b f(t) dt

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 24-05-07 à 14:51

ça serait pas plutot 3$ f^2(x) \le 2\Bigint_a^x f(t) dt ( un x sur la borne d'en haut et non un b ) ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 24-05-07 à 14:55

Non. Mais si tu la démontres avec x, tu as tout fini, puisque a<x<b. (et bien sur une autre condition que tu dois démontrer...

A toi

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 24-05-07 à 15:02

en fait je connais une démo qui fait intervenir une fonction définie par une intégrale, d'où ma remarque dans mon message précédent

Y'a apparemment une autre façon .

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 24-05-07 à 15:03

ben tu vas utiliser à la fin une fonction définie par une intégrale.

Poste ta démo pour les bornes a -> x

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 24-05-07 à 23:51

Voici la démo :

Soit 3$ \fbox{\Phi(x)=\Bigint_a^x f^3(t)dt} et 3$\fbox{ \Psi(x)=(\Bigint_a^x f(t)dt)^2} définies sur [a,b].

Ces 2 fonctions sont de classe C^1 sur [a,b].

On va montrer que 3$ \fbox{\Phi(b)\le \Psi(b)}.

Comme  3$ \Phi(a)=\Psi(a)=0, on va montrer que pour tout t dans [a,b], 3$ \Phi'(t)\le \Psi'(t).

Celà revient à montrer que pour tout t dans [a,b], 3$ f^3(t) \le 2 f(t)\Bigint_a^t f(u)du.

f étant positive ( f(a)=0 et f'(t)\ge 0 ) celà revient à montrer que 3$ f^2(t) \le 2 \Bigint_a^t f(u)du.

Ces 2 dernières fonctions sont dérivables sur [a,b] et nulles en a, il suffit donc de montrer l'inégalité pour leur dérivées, c'est à dire que 3$ 2f(t)f'(t) \le 2 f(t).

Comme f est positive, celà revient à montrer que f'(t) \le 1 ce qui est vrai par hypothèse

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:04

Oui. C'est bien comment tu as arrivé à ce que demande l'indice. Mais ta démo pour ce dernier n'est pas convaincante. Il faut utiliser l'encadrement et non le montrer

Commence par f'(t)<1 (une multiplication et une intégration feront leur travail ici..) A toi

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:05

tu es arrivé ...

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:07

Je vois pas ce qu'il y a de pas convaincant, j'ai prouvé que pour arriver au résultat, il suffisait de montrer f'(t)<1.

Il suffit de "remonter" la démo si tu veux. Mais y'a aucune utilité à faire ça ici.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:10

oui oui Rouliane. Je viens te comprendre ta démonstration. très jolie.

Ce que je t'ai proposé:

f'(t)<1 et f>0 donc f(t)*f'(t)<f(t). On intègre entre a et b et on trouve l'indice.

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:11

oui, je voyais bien où tu voulais en venir

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:12

en faite, il suffit de remonter pour trouver ce que je t'ai dit.

Bravo Rouliane.

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Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:12

Ceci dit, j'ai aucun mérite pour la démo, j'avais déjà fait cet exo.
Pour ma part, il m'aurait été impossible de trouver seul, en tout cas sans aucune indication.

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:13

Je trouve pas que ce genre d'exo dépend du niveau, je suis sur que tu peux trouver un docteur en maths qui va sécher dessus.
Sans indication, c'est pas vraiment évident.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:14

Non je pense pas. C'est moi qui t'ai pressé. Si tu aurais un peu réfléchi, tu l'aurais vite trouvé. J'en suis sûr

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:15

non non je t'assure, c'est toujours été nul pour ce genre d'exos

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:15

Oui parfois ce n'est pas évident! mais à force d'entrainement on y arrive des fois facilement..

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:20

c'est bien ce que je dis, il faut déjà avoir abordé ce type d'exos pour trouver

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:22

(il nous torturent avec ce genre d'exercices ici au Maroc ... Mais bien sûr, ils n'ont pas le droit de poser de tels question sur l'examen du bac ) sinon c'est l'enfer ..

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 00:28



tiens tu peux essayer ça :

Soit f une fonction de classe C^1 sur [a,b] telle que f(a)=f(b)=0.
Soit M=sup|f'(t)|

Montrer que   4$ |\int_a^b f(t)dt| \le \frac{(b-a)^2}{4}M.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 20:42

Re Rouliane ...

Encore un os

ce que je pense: on va utiliser l'inégalité de la moyenne?

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 25-05-07 à 23:19

a priori non.

on va plutot partager l'intervalle [a,b] en 2 intervalles.

j'en ai déjà trop dit

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 00:00

C'est dur

(un autre indice)

sinon je pense qu'on va introduire le M

M est le sup de f' ou de f. (avec valeur absolue ou non?)

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 00:06

m= sup de f' avec valeur absolue.

Partage l'intervalle en [a,(a+b)/2] et [(a+b)/2,b] et majore f(t) sur chacun de ces  intervalles

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 19:03

pas inspiré, monrow ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 20:45

Re. Rouliane...



On a:  -M<f'(t)<M en intégrant on trouve: f(t)<(b-a)M

On \Bigint_a^bf(t)dt=\Bigint_a^{(a+b)/2}f(t)dt+\Bigint_{(a+b)/2}^bf(t)dt

On a: \Bigint_a^{(a+b)/2}f(t)dt \le \frac{(b-a)^2}{2}

et: \Bigint_{(a+b)/2}^bf(t)dt \le \frac{(b-a)^2}{2}

IL y a du cauchy-schwartz????

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 20:47

Désolé c'est: On a: \Bigint_a^{(a+b)/2}f(t)dt \le \frac{(b-a)^2}{2}M

et: \Bigint_{(a+b)/2}^bf(t)dt \le \frac{(b-a)^2}{2}M

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 20:49

l'idée est là.

Citation :
On a:  -M<f'(t)<M en intégrant on trouve: f(t)<(b-a)M


essaye d'obtenir une inégalité de f(t) sur [a,(a+b)/2] et sur [(a+b)/2,b]

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 20:50

Ben c'est ce que je fais

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 20:55

j'ai voulu dire c'est ce que j'ai fait

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 21:41

je répète : essaye d'obtenir une inégalité de f(t) ( et pas de l'intégrale de f ) sur [a,(a+b)/2] et sur [(a+b)/2,b]

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 21:58

de |f(t)| pardon.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 23:31

Donc sur les deux intervalles:

f(t)<(b-a)M/2

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 23:43

mais ça va pas nous aider là.

Sur [a,(a+b)/2] , 4$ |f(t)|=|\int_a^t f'(t)dt|\le \int_a^t |f'(t)|dt \le ....

Sur [(a+b)/2,b] , 4$ |f(t)|=|\int_t^b f'(t)dt|\le \int_t^b |f'(t)|dt \le ....

à toi

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 23:49

ben |f'(t)|<M => en appliquant l'intégrale <M(b-a)/2

Je pense que je dois appliquer l'intégrale une deuxième fois et tout ira bien, non?

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 23:52

y'a du t dans les bornes, pas du a et b

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 26-05-07 à 23:58

ben c'est la même chose

c'est <M(t-a)/2 et <M(b-t)/2

Posté par
Rouliane
re : DEFI N°11: La puissance du jeu d'intégrales 27-05-07 à 00:02

voilà et ensuite en passant à l'intégrale ça se finit bien



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