DEFI N°19: Une petite équation..

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DEFI N°19: Une petite équation..
Posté par 
monrow   31-05-07 à 10:33
Bonjour,



je poste un petit défi qui traite une petite équation astucieuse (+ou- puisqu'il y a des membres trop forts et qui vont la résoudre juste en un clin d'oeil )



Sujet: Polynômes

Niveau: Terminale et plus

Difficulté: 2 **



L'énoncé:



Citation :


Résoudre dans  l'équation suivante: 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 10:33
Bonne chance 
 Posté par 
Nofutur2re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 10:47
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L'expression est égale à (x8-1)/(x-1).Les solutions sont donc les racines huitième de l'unité , desquelles on exclut 1.

soit zk = e 2ik/8 avec k variant de 1 à 7.
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 10:50
nofutur2>>
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Tout à fait  et sur R?
 Posté par 
Nofutur2re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 11:38
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Sur R, on prend k=4, ce qui donne x=-1
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 11:42
Nofutur2>>
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Tout à fait
 Posté par 
lafol re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 19:07
monrow : 
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pour les bac +, c'est presque une question de cours 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 20:34
lafol>>
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Surement. C'est du niveau première mais avec R  bien sur  (mais pour faire plaisir à jamo... )
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 21:09
Citation :
Je rappelle encore une fois, que si quelqu'un aimerait voir la solution d'un défi, il n'a que le remonter et me le demander.... Et je postera la solution
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 21:09
qu'à... posterai 
 Posté par 
_Estelle_re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 21:10
Bonsoir 



Monrow >> 
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Dans R, c'est niveau 1ère ? Tu es sûr ? 


Estelle 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 21:13
Estelle>>
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Oui  Il faut juste connaitre que: a^8-1=(a-1)(a^7+a^6+...+a+1) Je ne sais si vous la faites en première en france ou on. En général c'est: a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+....+a+1) 
 Posté par 
smilre : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 21:38
Estelle et monrow >
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ne le dites à personne, je lis les blankés. Je confirme le niveau 1ère (dans R) même sans l'identité remarquable de degré 8 (qui n'est pas au programme)

1+x+x²+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7 = 0

(1+x)+x²(1+x)+x^4(1+x)+x^6(1+x) = 0

soit (1+x)(1+x²+x^4+x^6) = 0

(1+x)((1+x²)+x^4(1+x²)) = 0

(1+x)(1+x²)(1+x^4) = 0
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 21:43
smil>>
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ben les blanqués sont faits pour être lus  Tout à fait, c'est vraiment une formule convenable pour les premières 
 Posté par 
lafol re : DEFI N°19: Une petite équation..  31-05-07 à 21:50
estelle : 
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petit indice : en première, on sait calculer la somme de 8 termes d'une suite géométrique .....
 Posté par 
_Estelle_re : DEFI N°19: Une petite équation..  01-06-07 à 06:16
Lafol >> 
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Merci  Je chercherai dans la journée alors 


Monrow >>  Cliquez pour afficher
Tu peux attendre au moins ce soir pour le corriger, s'il te plaît ? 


Estelle 
 Posté par 
plumemeteorere : DEFI N°19: Une petite équation..  01-06-07 à 11:05
bonjour

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(1+x)(1+x²+x4+x6) = 0

(1+x)(1+x²)(1+x4) = 0

x = - 1

il faut moins de temps pour trouver la solution que pour l'écrire !
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  02-06-07 à 12:23
Estelle>> alors?



plumemeteore>> 
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Tes réponses sont toujours justes..  "il faut moins de temps pour trouver la solution que pour l'écrire !" => surement 
 Posté par 
_Estelle_re : DEFI N°19: Une petite équation..  02-06-07 à 13:36
Monrow >>

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1 + x² + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 = 0



Soit Un la suite géométrique de raison x et de premier terme 1.



Alors la somme des termes consécutifs de la suite vaut :

S = (1-q^n)/(1-q) soit ici 0 = (1-x^7)/(1-x).



Donc il faut 1-x^7 = 0 soit x^7 = 1 d'où x = 1.


Où est l'erreur ?


Estelle 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  02-06-07 à 13:43
Estelle>>
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Il y a une erreur dans le nombre de termes. C'est de U_0 à U_7 donc le nombre de termes est (7-0+1) c-a-d 8 A toi
 Posté par 
_Estelle_re : DEFI N°19: Une petite équation..  02-06-07 à 14:46
Monrow >> 
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Oui mais quand on compte le nombre de termes qui s'additionnent dans 1+x²+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7, on en trouve 7. C'est ce que je ne comprends pas.


Estelle 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  02-06-07 à 14:52
Estelle>> 
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et où est le x???
 Posté par 
lafol re : DEFI N°19: Une petite équation..  02-06-07 à 14:59
Estelle : 
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pense à a²-b² pour finir proprement ....
 Posté par 
_Estelle_re : DEFI N°19: Une petite équation..  02-06-07 à 15:30
Merci lafol et monrow 



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1 + x + x² + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 = 0



Soit Un la suite géométrique de raison x et de premier terme 1.



Alors la somme des termes consécutifs de la suite vaut :

S = (1-q^n)/(1-q) soit ici 0 = (1-x^8)/(1-x).



Donc il faut 1-x^8 = 0 soit (1+x^4)(1-x^4) = 0.



D'où x^4 = -1 => impossible.

Ou bien x^4=1 => x=-1 ou x=1.




Estelle 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  02-06-07 à 16:00
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(1+x^4)(1-x^4) = 0 soit 1-x^4=0 => (1-x²)(1+x²)=0 =>x²-1=0 => x²=1 => x=1 ou x=-1



puisque tu résouts l'équation: (1-x^8)/(1-x) donc son domaine de définition est: R\{1} ce qui veut dire x=-1 
 Posté par 
_Estelle_re : DEFI N°19: Une petite équation..  02-06-07 à 17:03
Merci monrow 



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Premier défi que je réussis à faire, *contente* 


Estelle 
 Posté par 
lafol re : DEFI N°19: Une petite équation..  02-06-07 à 17:07
monrow (et beaucoup d'autres, c'est mal conjugué dans au moins un quart des livres  ) : on écrit je résous, tu résous, il résout.... 
 Posté par 
infophilere : DEFI N°19: Une petite équation..  02-06-07 à 17:08
Bonjour 



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Pas le temps de rédiger mais on voit tout de suite une progression géométrique.


A+
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  02-06-07 à 21:04
Lafol>> J'hésite toujours à écrire: résouds  ou résout



Mais c'est bon, dès aujourd'hui c'est je résous tu résous 



Estelle>> très bien 



Kevin>> Tout à fait 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  22-06-07 à 22:38






On sait que:  ()

Donc: 



C'est-à-dire: 



Et puisque  ne vérifie pas l'équation



donc: 
 Posté par 
lafol re : DEFI N°19: Une petite équation..  23-06-07 à 15:55
hep hep hep ! la jeunesse !

tu demandais de résoudre ça dans C, il me semble !

il manque donc une paire de solutions ....
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  23-06-07 à 16:16
:embrras: oui lafol

J'ai oublié que c'est dans 







Merci lafol 
 Posté par 
lafol re : DEFI N°19: Une petite équation..  23-06-07 à 16:19
pas toutes : 1 n'est visiblement pas racine 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  23-06-07 à 16:20
oui c'est noté dans la solution primaire 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  23-06-07 à 16:21
 Posté par 
lafol re : DEFI N°19: Une petite équation..  23-06-07 à 16:26
il en manque 4 ....
 Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  23-06-07 à 16:29
2 secondes



donc ce sont:  avec  c'est bon? 
 Posté par 
lafol re : DEFI N°19: Une petite équation..  23-06-07 à 16:30
uf: 
  Posté par 
monrow re : DEFI N°19: Une petite équation..  23-06-07 à 16:30
 enfin 