Bonjour

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On remarque tout d'abord que la somme de deux termes consécutifs est un carré.
En effet :

S_n+S_{n-1}=\Bigsum_{k=0}^n (n-k)^2(-1)^k+\Bigsum_{k=1}^n (n-k)^2(-1)^{k-1}après décalage des indices pour la deuxième somme.
Ainsi, tous les termes s'éliminent, et il ne reste plus que S_n+S_{n-1}=n^2}

Montrons maintenant par récurrence sur n que Sn n'est autre que le n-ième nombre triangulaire, c'est à dire Sn=n(n+1)/2
Pour n=0, cette propriété est clairement vérifiée.
Supposons que pour n fixé on ait Sn=n(n+1)/2.
D'après la propriété précédente, on a S(n+1) = (n+1)²-Sn = n²+2n+1-n²/2-n/2 = n²/2+3n/2+1 = (n+1)(n+2)/2
ce qui est l'égalité voulue.

Par récurrence, on en déduit donc que Sn=n(n+1)/2

Sauf erreur

Fractal>>

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C'est vraiment magnifique ce que tu as fait. C'est trop correct

monrow ->

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Merci (mais c'est parce qu'il était facile, que deux étoiles )

Fractal>>

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Non. Mais le temps que tu as fais pour trouver, et aussi ta démonstration sont vraiment choquants. J'ai trop aimé les premières lignes de la démonstration pour éliminer les éléments et de penser à un décalage d'indice! Félicitations.

monrow ->

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L'habitude des Olympiades peut-être... Il faut toujours commencer par expérimenter, on calcule les premiers termes et on voit assez rapidement qu'il s'agit d'une somme alternée de carrés, et on voit aussi qu'en en ajoutant deux, tout s'éliminera sauf un carré.
Ensuite on se débrouille pour trouver comment ces termes pourraient bien s'éliminer rigoureusement.

Fractal>> Oui. Je suis encore en terminale. Je pense que toi aussi (d'après ton profil?)

Tout à fait

Fractal

bonjour Monrow

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le tout est de donner une signification moins mystificatrice à la formule
quand k est pair, il s'agit de la somme des carrés des nombres pairesde 2 à k moins la somme des carrés des nombres impairs de 1 à k-1
la différence entre les carrés de k et de k-1 est 2k-1
le résultat est donc le double de la somme des nombres pairs de 2 à k moins le nombre de ces nombres; soit j = k/2
réponse : [j*(j+1)/2]*2*2 - j = 2j(j+1)-j = 2j²+j = k²/2 + k/2 = (k/2)*(k+1)

quand k est impair, il s'agit de la somme des carrés impairs des nombres de 1 à k moins la somme des nombres pairs de 2 à k-1
soustrayons (k+1)² : on obtient l'opposé de la réponse du cas pair, pour autant qu'on remplace dna cette réponse k par k+1
résultat pour k impair : -((k+1)/2)*(k+2))+(k+1)³ = -k²/2 - k -k/2 -1 + k² + 2k + 1
= k²/2 + k/2 = (k/2)*(k+1) : même formule que pour le cas pair

Plumemeteore>>

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Bien vu. Bonne méthode. Donc le résultat final est n(n+1)/2

alors je donne le premier indice:

Citation :
Calculer et Qy'est ce que vous remarquez?

Aucune réponse?

bonjour, monrow, les terminales sont-ils familiers de la notation sigma ?

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peut-être plus tentés par n²-(n-1)²+(n-2)²-(n-3)² ....jusqu'à 0² ?

Bonjour lafol,

cet exercice est tiré d'un livre de première. Mais en tout cas, si j'écris terminale, ça veut pas dire que ce n'est que pour les terminales. J'écris terminale et plus.

Un élève en terminale ayant un trop bon niveau et je dis bien "trop" pourrait bien aborder le sujet .. et on a comme exemple fractal qui suit un système français

le but des défis et de se familiariser avec tout genre d'exercices.. Si je poste un exercice que tout le monde peut trouver facilement, ça n'aura aucune importance .. il faut chercher

Re bonjour

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ma solution, abordable je pense dès la première (du point de vue des notions utilisées ):

Je regroupe les termes deux par deux :
n²-(n-1)² = (n-(n-1))(n+(n-1)) = 2n-1,
(n-2)²-(n-3)²=((n-2)-(n-3))((n-2)+(n-3))=2n-5
etc : ça diminue de 4 à chaque étape, car
(n-k)²-(n-(k+1))²=((n-k)-(n-k-1))((n-k)+(n-k-1))=2n-2k-1
quand on passera au suivant, avec k+2 à la place de k, on aura 2n-2(k+2)-1=(2n-2k-1)-4.

Donc si on regroupe les termes deux à deux, on se retrouve avec une suite arithmétique de premier terme 2n-1 et de raison -4.

la somme n²-(n-1)² + (n-2)²-(n-3)² ....
se termine par :
+ 2²-1² (+0² qu'on peut laisser tomber) si n est pair, et par
+ 3²-2² + 1²-0² si n est impair.

Si n est pair, le dernier terme est 2²-1²=3, et il y a n/2 termes, donc la somme est \frac{(2n-1)+3}{2}\frac{n}{2} = n(n+1)/2
Si n est impair, le dernier terme est 1²-0² = 1, et il y a (n+1)/2 termes donc la somme est \frac{1+(2n-1)}{2}\frac{n+1}{2}=n(n+1)/2 aussi

lafol>>

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Bonne méthode. c'est vrai qu'elle est abordable aussi pour les premières.

On va montrer pas récurrence que

* Pour n=1 On a:

On suppose que: et on montre que:

On a:

On pose: i=k-1

Donc:

Alors: Pour tout n de *

_{N.B.: Il y  aussi une méthode très intelligente postée par Fractal. Et une autre par lafol qui est accessible aux premières.}

Merci