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DEFI N°21: une limite à deux variables..

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 02-06-07 à 21:37

Bonsoir tout le monde

Je poste une petite limite à calculer, pour réviser un peu le programme du bac

Sujet: Suites numériques et limites
Niveau: Terminale et plus
Difficulté: 4 ****

L'énoncé

Citation :
Soit 3$ \theta un réel de 3$ ]0, \pi[.
On considère la suite (u_n) définie par:

5$ \rm (\forall n\in \mathbb{N})   5$ \rm u_n=cos(\frac{\theta}{2})\time cos(\frac{\theta}{2^2})\time...\time cos(\frac{\theta}{2^n})

Calculer: 5$ \rm \lim_{\theta\to 0}(\lim_{n\to +\infty} u_n)


Bonne réflexion

Posté par
anonymere : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 02-06-07 à 22:01

euhhh j'ai fais une bêtise, je sais pas comment masquer mince :s

Posté par
anonymere : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 02-06-07 à 22:02

si un modos peut supprimer mon MSG svp, je suis désolé !

Posté par
anonymere : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 02-06-07 à 22:05

Bonsoir : je vous présente ma solution

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Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 03-06-07 à 00:15

hatimy>>

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anonymere : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 03-06-07 à 00:17

monrow >>

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monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 03-06-07 à 00:20

hatimy>>

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Posté par
moctarre : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 03-06-07 à 00:21

Salut,

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monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 03-06-07 à 00:23

moctar>>

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Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 04-06-07 à 14:38

un petit up pour ceux qui l'ont oublié

Posté par
moctarre : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 04-06-07 à 14:46

monrow>>

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moctarre : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 04-06-07 à 14:50

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monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 04-06-07 à 15:00

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Posté par
moctarre : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 04-06-07 à 15:12

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après changemant d'indice et simplification on trouve \Bigprod_{k=0}^n cost/2^k=sin2t/2^{n+1}sint/2^n
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Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°21: une limite à deux variables.. 23-06-07 à 12:13

\huge\red SOLUTION

Soir k un entier naturel non nul.

On a: 4$cos(\frac{\theta}{2^k})*sin(\frac{\theta}{2^k})=\frac{1}{2}sin(\frac{\theta}{2^{k-1}})

Donc: 4$ u_n=\Bigprod_{k=1}^n cos(\frac{\theta}{2^k})

=4$\rm \frac{1}{2^n}\frac{\Bigprod_{k=1}^{n-1} sin(\frac{\theta}{2^{k-1}})}{\Bigprod_{k=1}^n sin(\frac{\theta}{2^k})}

=6$\rm \frac{1}{2^n}\frac{sin(\theta)}{sin(\frac{\theta}{2^n})}

ON peut en conclure:
\lim_{n\to +\infty} u_n = \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{2^n}\frac{sin(\theta)}{sin(\frac{\theta}{2^n})} \\ =\lim_{n\to +\infty} \frac{sin\theta}{\theta}\time \frac{1}{\frac{sin(\frac{\theta}{2^n})}{\frac{\theta}{2^n}}}

donc: 5$\rm\blue \fbox{\lim_{\theta\to%200}(\lim_{n\to%20+\infty}%20u_n)=1}


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