DEFI N°25: Suite d'indices pairs..

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DEFI N°25: Suite d'indices pairs..
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monrow   13-06-07 à 20:38
Bonjour tout le monde,



donc, houla! les défis reviennent  Je poste un petit de niveau moyen..



Sujet: Suites numériques

Niveau: Première et plus

Difficulté: 3 ***



L'énoncé



Citation :


Soient  les coefficients du polynôme 

On pose: 



Calculer 


***Edit Nightmare : Enoncé corrigé***
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fusionfroidere : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 20:40
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Est-ce qu'un calcul de dérivée intervient ?
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monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 20:41
FF>>
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C'est pour un élève qui n'a jamais entendu parler de dérivation 
 Posté par 
fusionfroidere : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 20:44
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Ah ok !



Et est-ce que cet élève connait le binôme de Newton ?
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monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 20:46
FF>>

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 j'en sais rien... mais peut-être il l'a vu dans un topic sur le forum  (je sais pas si ça va donner qq chose)
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simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:01
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je dirais 3 exposant 1000
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monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:02
simon>>

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Bien vu.. mais ce n'est pas vraiment ça 
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moctarre : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:11
Bonsoir monrow

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je sais que c'est un peu tôt mais est ce que je peux avoir un indice car je trouve ce défi très difficile
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simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:12
bien sur, je suis trop bête: 
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3499
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simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:15
moctar>> 
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je te conseil de faire (1+x+x²)² puis au cube, tu observe, si tu ne trouve pas, fait (1+x+x²)^4 après tu trouve un cas général, ce n'est pas une démonstration mais ca pourra te donner une idée pour la démo...
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monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:17
Moctar>>
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attend un peu je le posterai aujourd'hui


simon>> Cliquez pour afficher
 non ce n'est pas ça .. et n'oublie de poster tes étapes 
 Posté par 
moctarre : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:19
ok monrow et merci simon
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:26
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bon alors, j'ai pu definir une pyramine des coefficients

   Coefficient dans l'odre           somme

               1                      =1

            1  1  1                   =3

         1  2  3  2  1                =9

      1  3  6  7  6  3  1             =27

   1  4 10 16 19 16 10  4  1          =81  

... il y a donc une logique... 

je me trompe a chaque fois mais maintenant je suis sur :3^500
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monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:31
simon>>



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mais c'est quoi ta logique??  (et ce n'est pas la bonne réponse)
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:31
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soit: S=3^500 = 3,63602918 × 10238



u(n)n, la somme des coefficient de [(1+x+x²)^ n ] est donc une suite géométrique de premier terme u(0)=1 et de raison q=3
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simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:31
c'est pas vrai!
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:31
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:33
zut! j'ai mal compris la suite... je croyait que c'était u0+u1+u2...
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simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:37
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dernière chance après je par en ermitage si c'est faux: (3^500+1)/2= ((3^500) + 1) / 2 = 1,81801459 × 10238 , en fait, ici encore ce n'est basé que sur une observation...
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monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:38
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c'est faux 
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:38
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dans ma réponse approximative ce n'est pas 10238 mais 10^238
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:38
c'est pas vrai!
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:39
monrow dit moi juste si je suis loin ou proche et je tourne auour du pot comme un débile please!
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moctarre : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:43
simon92 

Citation :
En essayant continuellement, on finit par réussir. Donc plus ça rate, plus on a de chances que ça marche.

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simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:45
oui, mais vu les chiffres dans lesquels je me trouve, un rien me décale de beaucoup beaucoup, doc, il va falloir que j'essaye longtemps comme ca pour atteindre le pot... 

et toi, t'as une idée... tu as trouvé la logique dans la pyramide des coefficient que tu peux réaliser?
 Posté par 
monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:47
simon>>

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essaie de blanquer 



t'es un peu proche 
 Posté par 
moctarre : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:50
simon

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j'ai la flemme de faire des faire des calculs longs,c'est pourquoi je reste toujours nul en calcul 
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:55
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dernier, ou avant dernier essai (ça depend!  ) : (3250+1)/2

soit 9,53418741 × 10118
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:56
moctar>> 
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c'est très rapide, je te promet, mais si tu veux, tu peux regardr mon post de 21h26 ou l'on voit la pyramide des coefficient, tu y verra une logique, tu pourra trouvé la solution sans te tapper les calculs de départ...
 Posté par 
monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:56
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ce n'est pas ça.... on navigue.. 
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 21:59
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donne moi un coup de main "steuplé" monrow, je vais pas fermer l'oeuil de la nuit si j'ai pas la solution...  ou au moins dans quel coin est mon erreur ou mes erreur
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monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 22:02
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donne ton développement et je t'aiderai 
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 22:21
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et bien j'ai fait la pyramide des coefficients:

         

   pyramide   /  x=numéro du palier /  nb de chiffres / sommes de tout les chiffres (s) /   S





         1                    0                  1                    1                    1

       1 1 1                  1                  3                    3                    2

     1 2 3 2 1                2                  5                    9                    5

   1 3 6 7 6 3 1              3                  7                    27                   14

etc... on peut voir que chaque chiffre est la somme du chiffre d'au dessus et de ses deux voisin, je suis allé plus loin dans la pyramide et cela me vrai...                

donc nb de chiffre=2x+1

s=3x

et S=(s+1)/2



dans ta suite il y a 1001 nb de chiffres: 1000-0+1

donc il s'agit de la ligne (1001-1)/2 soit la ligne 500

x=500

donc s=3500

et S=(3500+1)/2

ca y est merci de m'avoir demander de tout montrer, c'est donc mon résultat définitif... 
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 22:21
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zut, je l'avais déjà dit, je sais plus quoi faire!
 Posté par 
monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 22:29
juste une petite rectification:







c'est 2000 et pas 1000
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 22:29
c'est maintenant qu'il dit ca!
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 22:29
 ca change surment rien au problème, je doit encore et toujours avoir faux
 Posté par 
monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 22:31
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 22:35
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Il y a donc 1000 ligne dans la pyramide, ce qui fait que s=31000

donc S= (31000+1)/2 
please, un 
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monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 22:36
simon>>

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tout à fait 
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 22:43
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je peux allé me coucher en paix... merci mille fois monrow,sinon, vu que j'ai l'impression d'être le seul interresé par ce défi, sait tu si il y'a une veritable démonstration mathématiques et non pas basée sur des observations... merci d'avance
 Posté par 
monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 22:44
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oui... la démo que j'aie est plutôt mathématique 
 Posté par 
simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  13-06-07 à 22:49
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mon prof de math nous avait déja montré une pyramide des coefficiants comme cela mais avec les coefficiant de (a+b)n, il y avait aussi une méthode similaire pour connaitre les coefficiants suivant je crois que c'était la somme des deux chiffre d'au dessus:

     1 1

    1 2 1

   1 3 3 1

  1 4 6 4 1

........

j'ai tout de suite pensé a quelque chose qui viendrait avec une pyramide mais cette fois ci plutot de la forme (a+b+c)n...

voila...
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monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  17-06-07 à 15:17
alors? personne? 
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plumemeteorere : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  18-06-07 à 00:18
bonsoir Monrow

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supposons qu'à un stade, on ait les coefficients a(n) à a(0) pour un polynôme de degré n

si on multiplie le polynôme par x²+x+1

le coefficient de xn+2 sera a(n); le coefficient de xn+1 sera a(n)+a(n-1) car a(n)xn*x + a(n-1)xn-1*x²

pour un terme du nouveau produit dont la puissance m va de n à 2, le coefficient est a(m)+a(m-1)+a(m-2) car a(m)xm + a(m-1)xm-1*x + a(m-2)xm-2*x²

le nouveau coefficient en x sera a(1)+a(0) car a(1)x + a(0)*x et le coefficient nombre restera a(0)

les coefficients du polynôme de départ participent chacun trois fois à la somme des coefficients du nouveau polynôme; la somme des nouveaux coefficients est trois fois celle des anciens

la somme de départ est 1 car (x²+x+1)0 = 1

on la multiplie mille fois par 3

la somme d'arrivée est 31000, un nombre de quatre cent septante-huit chiffres
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veledare:defi n°25  18-06-07 à 07:31
bonjour monrow

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je voulais simplement te dire que ce n'est pas parce que l'on ne répond pas que l'on ne s'intèresse pas au défit proposé

je ne donne pas ma solution sans doute la même que la tienne(elle tient en trois lignes)simon va bien finir par la trouver

bonne journée 
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simon92re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  18-06-07 à 08:48
velda>> moi je l'ai trouvé, c'est juste qu'il s'étaait trompé dans l'énoncé! depuis, que ca a été corrigé, ma première réponse a été la bonne... 
 Posté par 
veledare:defi n°25:suites d'indices pairs  18-06-07 à 10:08
bonjour simon

oui je sais que tu as trouvé  la réponse mais je parlais de trouver la démonstration à laquelle pensait monrow et qui doit être la même que la mienne
 Posté par 
monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  18-06-07 à 11:20
plumemeeteore>>
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 c'est pas tout à fait bon... Mais tu es plus ou moins proche


veleda>> Cliquez pour afficher
 oui... Je suis sûr que tu as la bonne réponse .  IL y a une dizaine de défis qui ont été perdu dans des profondeurs ... C'est pour ça que je fais remonter au moins les derniers 
  Posté par 
monrow re : DEFI N°25: Suite d'indices pairs..  23-06-07 à 13:18




Puisque: , , ...,  sont les coefficients du polynôme P



Donc: 



Pour  on a:







et: 



Donc:  (1)



Pour  on a:







et: 



Donc:  (2)



Des deux relations (1) et (2), et en effectuant leur somme, on a:







D'où: 