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DEFI N°28: Intégrale trigonométrique

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 20-06-07 à 13:23

Bonjour encore une fois,

encore avec les défis

Sujet: Calcul intégral
Niveau: Terminale et plus
Difficulté: 3 ***

L'énoncé

Citation :

Calculer l'intégrale suivante:

5$ \rm I=\Bigint_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\alpha+\beta cos(x)}

avec: \alpha>0 et |\beta|<\alpha


Bonne recherche

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 20-06-07 à 15:34

personne?? pourtant, c'est pas aussi dure

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 20-06-07 à 16:11

Bonjour,

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Nicolas

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 20-06-07 à 16:17

Nicolas>>

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 20-06-07 à 16:19

monrow >>

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Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 20-06-07 à 16:23

Nicolas>>

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Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 23-06-07 à 13:21

Personne??

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 23-06-07 à 18:12

Personne d'autre ???

Posté par
infophilere : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 23-06-07 à 18:22

Bonjour

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 23-06-07 à 18:24

infophile >>

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Posté par
infophilere : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 23-06-07 à 18:26

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 23-06-07 à 22:09

Kevin>>

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 07:06

monrow et Kévin >>

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Posté par
1 Schumi 1re : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 08:11

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Ayoub.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 08:16

Posté par
mikayaoure : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 09:49

bonjouratous

en prenant les triplets pythagoriens :
5,3  => 4
5,-3 => 4
5,4  => 3
5,-4 => 3
pour tomber sur des nombres sympatiques, Sine Qua Non trouve pareil

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 12:42

Nicolas>>

enfin je posterai la solution

mikayaou>> je n'ai pas compris pourquoi utiliser les triplets pythagoriciens??

Posté par
1 Schumi 1re : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 12:43

Citation :
enfin je posterai la solution

Merci monrow, je n'attends que ça.


Ayoub.

Posté par
mikayaoure : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 12:59

pour rendre a²-b² carré ainsi que (a-b)/(a+b) carré

et pouvoir en prendre la racine facilement

Posté par
cailloux Correcteurre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:06

Bonjour,

Tu attends encore des réponses Monrow ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:11

\huge\red SOLUTION

On a:
5$\rm I=\Bigint_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\alpha+\beta cos(x)}

On pose: 4$t=tan\(\frac{x}{2}\) donc: 4$cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2} et 4$dx=\frac{2 dt}{1+t^2}

\fbox{*}3$x=\frac{-\pi}{2} \Rightarrow t=-1
\fbox{*}x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1

D'où: 3$I=\Bigint_{-1}^{1} \frac{2}{t^2(\alpha -\beta)+\alpha +\beta} dt

Puisque: 3$|\beta|<\alpha donc: 3$\alpha -\beta\neq 0 et 3$\alpha +\beta\neq 0 et: 3$\frac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}>0

et donc: 4$I=\frac{2}{\alpha +\beta}\Bigint_{-1}^{1}\frac{1}{1+\(t\sqrt{\frac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}\)^2}

On pose: 4$u=t\sqrt{\frac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}

Donc: 4$du=\sqrt{\frac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}dt

\fbox{*}4$t=-1 \Rightarrow u=-sqrt{\frac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}
\fbox{*}4$t=1 \Rightarrow u=sqrt{\frac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}

Donc: 4$I=\frac{2}{\sqrt{\alpha^2-\beta^2}}\Bigint_{-sqrt{\frac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}}^{sqrt{\frac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}} \frac{1}{1+u^2}du

alors: 4$I=\frac{2}{\sqrt{\alpha^2-\beta^2}} \[Arctanu\]_{-sqrt{\frac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}}^{\sqrt{\frac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}}

D'où: 4$\blue\rm\fbox{I=\frac{4}{\sqrt{\alpha^2-\beta^2}}Arctan\(\sqrt{\frac{\alpha -\beta}{\alpha +\beta}}\)}

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:12

cailloux>> désolé je viens de voir: tu peux toujours poster ta réponse

mikayaou>> "c'est un peu clair dans ma tête"

Posté par
1 Schumi 1re : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:13

C'est pas vraiment du nivau terminale, ça.
M'enfin bon.


Ayoub.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:15

C'est le 13ème exo de notre leçon sur le calcul intégral

Posté par
cailloux Correcteurre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:15

Citation :
Tu attends encore des réponses Monrow ?


Non Pas grave Monrow

Posté par
1 Schumi 1re : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:17

Quand je disais qu'au Maroc on faisait des maths. Vilà pourquoi je pleure:
En métropole et dans les DOM, la formle du changement de variable n'est pas au programme.
Tu sais pourquoi? Parce qu'on fait plus demath.

Ayoub

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:28

cailloux>> si t'as une autre méthode, tu la postes, puisque c'est le but des défis...

Ayoub>> t'es pescimisste...  ben au moins, je vois que t'as un niveau élevé toi.... (par exemple, le problème d'elhor, je ne l'aurais jamais fait )

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:28

pessimiste

Posté par
1 Schumi 1re : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:31

Citation :
t'es pescimisste...  

Non, réaliste. C'est ca qui est désolant.


Citation :
par exemple, le problème d'elhor, je ne l'aurais jamais fait

Sans les indices de ce cher elhor, ça aurait peine perdu. J'aurai jamais trouvé. Et puis faut dire que 'arithmétique est la branche que je préfère.


Ayoub.

Posté par
cailloux Correcteurre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:35

Non Monrow, même méthode, sauf qu' à la fin, j' évitais le 2 ème changement de variable:

une primive de \frac{1}{t^2+a^2} est \frac{1}{a}Arctg(\frac{t}{a})

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:39

Ayoub>> je sais que le niveau est bas... et tu dois le savoir, il est aussi bas qu'au Maroc.. Dans une classe, on trouve 5 ou 6 personnes maximum qui ont un bon niveau, 15 moyens, et 10 qui ne connaissent même pas ce qu'est une intégrale
mais bon... Ma promotion était la dernière... l'année prochaine, on trouvera plus les fonctions arc et les coniques par exemples...

cailloux>> oui tout à fait

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DEFI N°28: Intégrale trigonométrique 24-06-07 à 13:40

par exemple (sans s)


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