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Pour la limite intérieure (avec des m, donc à n fixé), on a :
Si , alors
Si , alors (car le cosinus est alors inférieur en valeur absolue à 1)

Le premier cas arrive lorsque c'est à dire lorsque est un entier.
Si x est rationnel, cette condition est vérifiée pour n assez grand, à partir d'un certain rang (puisque pour passer de n! à (n+1)!, on multiplie par un entier), ce qui signifie que f(x)=1.
Si x est irrationnel, cette condition n'est jamais vérifiée, donc f(x)=0.

Finalement, f n'est autre que la fonction caractéristique de , qui est discontinue en chaque réel par densité de dans .

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Tout d'abord je pense que la foncton est mal définie, car avant d'écrire le symbôle de limite, il faudrait s'assurer que la limite existe...

Bref, l'idée est de décomposer la fonction en 2. On voit grace au pi à l'intérieur que suivant les valeurs de x, f(x) va prendre des valeurs spéciales.

En particulier, si x est entier, on a clairement f(x) qui vaut 1.
Peut-on prolonger à x rationnel?

On pose x=p/q avec p et q copremiers. Il s'agirait de savoir si n!x est entier, c'est-à-dire de savoir si q|n!. Comme n tend vers l'infini, c'est bien évidement vérifier.

Si l'on prend x irrationnel, f(x) va, comme tout cosinus qui se respecte, osciller entre -1 et 1 et donc notre limite va être nulle.

Finalement f prend la valeur 1 sur Q et 0 sur R-Q.

Comme Q et R-Q sont denses dans R, f est continue si et seulement si 1=0 ce qui n'est bien sûr jamais vérifié. Finalement f est partout discontinue

P-S : f s'appelle fonction caractéristique de Q

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tout à fait

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C'est la bonne réponse.. mais pour ta remarque, je pense que c'est nécessaire de montrer l'existence de R puisqu'en développant le raisonnement, on va trouver qu'il y a deux valeurs possibles de cette limites et donc l'exisytence de f... et c'est ce qui demande l'exo