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Posté par
infophile
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:12

monrow > A 13h57

spmtb > Bien joué

Posté par
spmtb
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:13

bonne soiree

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:39

Hum Monrow je ne comprends pas pas trop ton raisonnement, il manque de justification et dans le fond je crois qu'il n'est pas bon toute façon.

Combien trouves-tu au final pour la limite de 3$\rm \frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{2n} \frac{k}{k^{2}+n^{2}} ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:40

Je n'ai pas bien saisi surtout avec les x minuscules et les X majuscules. Tu peux reformuler ton idée?

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:40

0

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:40

Hum non ça ne marche pas.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:43

ben j'ai utilisé l'application des intégrale pour le calcul de suites!

lim \frac{1}{n} \bigsum _1^n f(k/n)  = \Bigint_0^1 f(x) dx si f est monotone ou bien f' est bornée!

Posté par
infophile
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:46

Euh je sais pas comment le dire autrement...

Jord t'as compris mon idée ?

Je quitte l', bonne soirée à vous deux

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:48

Oui j'ai compris ton idée Kevin Mais je ne vois pas comment faire pour montrer que a(x) tend vers 8 a part en passant par un développement limité. Je pense qu'en bourrinant sur les croissances comparés on devrait y arriver, mais bon...

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:48

Oui c'est une somme de Riemann mais à moins que je me sois trompé, on trouve ici qu'elle vaut 1/2 ln(5) (d'où la forme indeterminée).

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:53

Kevin>> ce que je n'ai pas compris c'est le x et X

Jord>> mais en factorisant par 1/n (ce qui est obligatoire), on sait que la somme qui reste est une valeur finie. donc * le 1/n ça va donner 0.

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:55

Non la somme n'est pas finie. C'est justement le 1/n devant qui assure que l'on a une somme de Riemann.

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 20:59

On peut résoudre ça facilement avec un développement limité.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:00

non après une factorisation par 1/n ça devient finie

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:00

Je ne connais pas bien les Dl

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:04

Je ne comprends pas ton raisonnement :

3$\rm \frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{2n} \frac{k}{k^{2}+n^{2}}=\frac{\;\frac{k}{n}\;}{\(\frac{k}{n}\)^{2}+1}\longrightarrow_{n\infty} \Bigint_{0}^{2} \frac{x}{x^{2}+1}dx=\[\frac{1}{2}ln(x^{2}+1)\]_{0}^{2}=\frac{1}{2}ln(5)

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:07

non. Ce n'est pas égale.

Si on divise par n le nominateur et le dénominateur ça va nous donner:

C'est égal à 5$ \bigsum_{k=0}^n \frac{\frac{k}{n}}{\frac{k^2}{n}+1}

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:08

avec 1/n en facteur bien sur

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:08

désolé c'est 5$%20 \frac{1}{n} \bigsum_{k=0}^n%20\frac{\frac{k}{n}}{\frac{k^2}{n}+n}

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:09

5$%20 \frac{1}{n} \bigsum_{k=0}^n%20\frac{\frac{k}{n}}{\frac{k^2}{n}+n}

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:09

OOOOOOOOh bcp, de fautes ;) k=1 ...

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:11

Arf, erratum, il manquait effectivement un carré sur le n du 1/n en facteur

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:14

donc c'était ça le problème. Après avoir factorisé par un nouveau 1/n, il va rester un 1/n après l'application de l'intégrale. ce qui va tout annuler

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:15

voila, au temps pour moi.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:17

s'il n'y avait pas le 1/n, ça va être vraiment une FI très difficile!

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:19

Eh oui, c'est pour cela que je parlais de développement limité.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:20

donc comment comment on pouvait y procéder?

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:25

Je laisse les autres chercher un peu.

Je réécris donc la limite à calculer :
3$\rm \lim_{n\infty} n\times \(\frac{1}{2}ln(5)-\Bigsum_{k=1}^{2n} \frac{k}{k^{2}+n^{2}}\)

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:31

je pense que tu dois écrire ln(2) au lieu de ln(5) pour que ça soit une FI. non?

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:33

Il manquait le 2n.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:52

j'ai trouvé: (-1/4 pi + ln(5) + arctan(2))*n= + oo

je pense que j'ai faux

Posté par
Nightmare
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:53

Oui comme je l'ai dit il y a une forme indeterminée, la série converge vers 1/2ln(5).

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 20-05-07 à 21:54

hmmmmmmmm je sèche

je dois avoir un cours sur les DL

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 21-05-07 à 15:19

\huge \red SOLUTION

5$ \lim_{x\to 0} \frac{(\frac{e^x+1}{2})^{\frac{1}{x}}-\sqrt{e}}{x}
 \\ = \lim_{x\to 0} \sqrt{e} \frac{e^{\frac{1}{x}ln(\frac{1+e^x}{2})-\frac{1}{2}}-1}{\frac{1}{x}ln(\frac{1+e^x}{2})-\frac{1}{2}} \time \frac{{\frac{1}{x}ln(\frac{1+e^x}{2})-\frac{1}{2}}}{x}

On pose 5$ A(x)=\frac{{\frac{1}{x}ln(\frac{1+e^x}{2})-\frac{1}{2}}}{x}

5$ A(x)=\frac{ln(\frac{1+e^x}{2})-\frac{x}{2}}{x^2}
 \\ =\frac{ln(\frac{1+e^x}{2})-ln(e^{\frac{x}{2}})}{x^2}
 \\ =\frac{ln(\frac{1+e^x}{2} \time e^{\frac{-x}{2}})}{x^2}
 \\ =\frac{ln(\frac{e^{x/2}+e^{-x/2}}{2})}{x^2}
 \\ =\frac{ln(\frac{e^{x/2}+e^{-x/2}}{2})}{\frac{e^{x/2}+e^{-x/2}-1}{2}} \time \frac{e^{x/2}+e^{-x/2}-2}{2x^2}
 \\ =\frac{ln(\frac{e^{x/2}+e^{-x/2}}{2})}{\frac{e^{x/2}+e^{-x/2}-1}{2}} \time \frac{(e^{x/4}+e^{-x/4})^2}{2x^2}
 \\ =\frac{ln(\frac{e^{x/2}+e^{-x/2}}{2})}{\frac{e^{x/2}+e^{-x/2}-1}{2}} \time \frac{1}{2}(e^{-x/4} \time \frac{e^{x/2}-1}{2 \time \frac{x}{2}})^2

Puisque: 5$ \lim_{x\to 0} A(x)= \frac{1}{8}

et: 5$ \lim_{x\to 0} \frac{e^{\frac{1}{x}ln(\frac{1+e^x}{2})-\frac{1}{2}}-1}{\frac{1}{x}ln(\frac{1+e^x}{2})-\frac{1}{2}} = 1

Ainsi: 7$ \blue \fbox {\lim_{x\to 0} \frac{(\frac{e^x+1}{2})^{\frac{1}{x}}-\sqrt{e}}{x} = \frac{\sqrt{e}}{8}}

Posté par
borneo
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 21-05-07 à 15:20

A quoi s'amusent les bons élèves, à 15 jours du bac...  

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 21-05-07 à 15:22

15 jours! oui

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 21-05-07 à 15:37

il y a une petite erreur de frappe à la 8ème 9ème et 10ème ligne. Au dénominateur c'est:

(e(x/2)+e(-x/2))/2  - 1 ...

Désolé

Posté par
borneo
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 21-05-07 à 15:38

Mais non, je plaisante... c'est 3 semaines, en fait  

Posté par
infophile
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 21-05-07 à 20:17

Vraiment bien cette limite

Assez tordu quand même ! Je l'ajoute à mes favoris

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : DEFI N°3: Une limite incontrollable! 21-05-07 à 20:41

borneo>> Non, ici au maroc c'est juste 15 jours. C'est le 7 juin!

Kevin>> Oui elle est assez tordue, mais on utilise tout de même beaucoup d'astuces .... Je mettrai une surprise pour toi Kevin, attend le ..

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