DEFI N°35: Inégalité de coefficients

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DEFI N°35: Inégalité de coefficients
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monrow   21-06-07 à 19:22
Bonjour tout le monde,

je vous propose un petit défi amusant... 

Sujet: Dérivation

Niveau: première et plus

Difficulté: 2 **

L'énoncé

Citation :

Soit  la fonction numérique définie sur  par: 

tels que, ,  et  sont des réels

On suppose que 

Montrer que 

Bonne recherche 
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infophilere : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 19:25
Salut 

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Il suffit de linéariser sin(2x) et sin(3x) puis de factoriser par sin(x).
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monrow re : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 19:27
Kevin>>
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 On ne peut pas linéariser sin(2x).. on linéarise des puissances. C'est l'opération inverse que tu veux dire  Essaie de réfléchir juste avec la dérivation. pas de complexes 
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infophilere : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 19:32
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Oui pardon. Mon idée :

En prenant ton hypothèse on a 

Ce n'est pas une bonne piste ?

 Posté par 
infophilere : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 19:41
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D'ailleurs ça a l'air de bien fonctionner puisque la somme est maximale pour  donc pas besoin de la dérivation 
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monrow re : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 19:47
Kevin>>

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je n'ai pas bien saisi ce que tu as fait 
 Posté par 
infophilere : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 19:52
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Je reprends :

On a  et  donc :

Or comme  alors  et ceci pour tout x.

Donc en prenant  on a bien :

Ok? 
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monrow re : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 19:56
Kevin

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oui... Bonne méthode 
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infophilere : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 19:57
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Oui j'ai posté rapidement ce qui me passait par la tête de peur qu'on nous interdise de poster des défis 
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monrow re : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 20:00
Kevin>>
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 enfin tout est possible 
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moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 20:28
Bonsoir,

j'arrive en retard ? 
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monrow re : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 20:28
Du tout 

au travail 
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moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 20:55
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j'ai un petit doute là,si on a deux fonctions f et g telles que 

.Est ce qu'on a forcément 
 Posté par 
infophilere : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 20:56
moctar >

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Non 
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moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 20:57
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je m'en doutais un peu 

Merci 
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infophilere : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 21:01
moctar >

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J'ai pas de super contre exemples en tête, mais il suffit de prendre f(x)=x et g(x)=x² on a bien sur |R pour tout x f(x) <= g(x) mais f'(x)=1 et g(x)=2x or on a pas pour tout x f'(x) <= g(x). Par exemple en prenant x=-1.
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moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 21:06
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je vois maintenant,merci  
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moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 21:08
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et si on prenait la valeur absolue ?
 Posté par 
moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 21:44
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j'éprouve quelques difficultés avec la méthode utilisant la dérivation,un petit indice...
 Posté par 
moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 22:48
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monrow re : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 22:50
un indice;

Utiliser la dérivation en 
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moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 22:59
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j'ai déjà fait ça.

Voici ce que j'ai fait et je suis sûr que c'est faux 

 implique 

donc 

pour x=0 on a 
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monrow re : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 23:07
moctar>>

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on ne dérive pas la valeur absolue 

essaie de voir ça: 
 Posté par 
moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  21-06-07 à 23:57
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 en utilisant l'inégalité 

donc 

or 

donc 

 ?
 Posté par 
monrow re : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 00:04
moctar>>

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si une valeur absolue est négative donc elle est égale à 0....  ce qui n'est pas possible 
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moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 00:12
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honte à moi 

Si je maintiens le epsilon,j'obtiens:

,en prenant epsilon très petit,on a :

Je m'excuse des bétises que je dis depuis le début
 Posté par 
infophilere : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 01:25
moctar >

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Tu nous fait de sacrés méthodes ce soir 
 Posté par 
moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 01:31
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c'est vrai que quand j'ai pas d'idées sur un problème,je raconte toute sorte de bétises 
 Posté par 
infophilere : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 01:42
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Sinon peut-être que ça fonctionne comme ça :

Ensuite je ne sais pas si on peut écrire 

Car dans ce cas il suffirait de passer à la limite. (peut-on avec les valeurs absolues ?)

A droite même pas la peine puisque pour tout x réel 

Enfin je préfère ma méthode initiale 
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infophilere : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 01:44
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Euh la remarque pour le membre de droite je la retire 
 Posté par 
moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 02:42
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ok,c'est vrai que ta methode iniatiale est beaucoup plus simple mais je voulais juste savoir ce que ça donnait avec les dérivées.
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moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 02:49
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en utilisant le taux d'accroissement,la suposition et la formule de la dérivée on montre 2 choses :

avec le taux d'accroissment:

avec la formule de la dérivée:

J'ai du mal à conclure 
 Posté par 
moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 21:20
 Posté par 
monrow re : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 21:22
moctar>>
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 essaie de suivre les premières étapes de Kevin 
 Posté par 
moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 21:34
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ok,alors un dernier essai:

donc 

...

Donc 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 21:38
moctar>>

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on reste sur ta 4ème ligne...

ON sait que |sinx|=<|x| donc: |f(x)/x|=<1

ce qui implique: |lim(0) f(x)/x|=<1 et tu conclue (sachant que f'(0)=a1+2a2+3a3

 Posté par 
moctarre : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 21:42
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ok,merci beaucoup,c'est vraiment gentil 
  Posté par 
monrow re : DEFI N°35: Inégalité de coefficients  22-06-07 à 22:00
moctar>> 
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pas de prob