DEFI N°37: Les composées bornées

 Niveau exercicesPartager :
			        
DEFI N°37: Les composées bornées
Posté par 
monrow   26-06-07 à 15:13
Bonjour tout le monde

je vous poste un petit défi sympa.. 

Sujet: Etude de fonctions

Niveau: Terminale et plus

Difficulté: 3 ***

L'énoncé:

Citation :

Soit  et  deux fonctions définies sur .

On suppose que  est bornée et que  est continue sur .

Montrer que  et  sont bornées sur .

Bonne recherche 
 Posté par 
xtasxre : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:18
Bonjour !

 Cliquez pour afficher
Déjà f et g sont définies sur |R à valeurs dans lui-même, donc on n'a pas de problème de domaine de définition pour fog et gof qui le sont donc sur |R tout entier aussi.

Ensuite f bornée => fog bornée puisque c'est en fait la restriction de f à Im(g) qui est inclu dans |R.

Il ne reste plus que gof ... je pars chercher 

 Posté par 
Nightmarere : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:19
Salut 

 Cliquez pour afficher
Si pour tout X, |f(x)|< M , en particulier |f(g(x))|< M.

Pour gof :

Quelque soit x, f(x) appartient à un intervalle [a,b]. Or comme g est continue, l'image de [a,b] est aussi un intervalle (TVI). Ainsi pour tout x, gof est bornée.

 Posté par 
xtasxre : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:21
 Cliquez pour afficher
Ah si ça y est :

gof est la restriction de g à Im(f) et f est bornée, donc Im(f) est inclu dans un segment de |R. Soit I ce segment.

Or g est continue sur I, segment de |R, donc l'image de I par g est un segment de |R, d'où gof est bornée aussi.

 Posté par 
monrow re : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:23
xtasx>> 
 Cliquez pour afficher
oui  j'attends gof 

Jord>> Cliquez pour afficher
Tout à fait 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:24
xtasx>> 
 Cliquez pour afficher
oui 
 Posté par 
Skopsre : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:27
 Cliquez pour afficher
C'est direct pour fog non ?

Skops 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:29
Skops>>

 Cliquez pour afficher
Oui 
 Posté par 
Skopsre : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:29
 Cliquez pour afficher
Par contre pour gof, c'est déja moins direct 

Skops 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:36
Skops>> Oui... mais c'est trop facile... juste une petite idée.. et rappelle toi de la TVI (la première définition...) 
 Posté par 
Skopsre : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:37
 Cliquez pour afficher
C'est grave si je me sers pas de la TVI ?

Skops 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:38
Skops>> 
 Cliquez pour afficher
Du tout ... essaie la méthode que tu veux 
 Posté par 
Skopsre : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:48
C'est foireux ce que j'ai pensé ^^

 Cliquez pour afficher

Si g est croissante sur IR alors 

Si g est décroissante sur IR alors 

Si la fonction est non-monotone, on découpe les intervalles où g est croissante ou décroissante.

Et là...

Skops 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:53
Skops>>

 Cliquez pour afficher
Tu as démontré la TVI

L'image d'un segment par une fonction continue est un segment 

Donc pas la peine d'étudier la monotonie de f 
 Posté par 
Skopsre : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:54
monrow >> 
 Cliquez pour afficher
Ah 

D'accord 

Skops 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 15:55
Skops>>
 Cliquez pour afficher
 
 Posté par 
john_kennedyre : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 20:13
Ca me semble un peu simple... je dois probablement me tromper.

 Cliquez pour afficher
Pour simplifier la compréhension, on notera (f o g)(x) = f(g(x)) et (g o f)(x) = g(f(x)).

cas 1: f(g(x)) 

g est définie sur tout R et est continue sur tout R.

Donc g: R  R

Donc Im(g) R, donc f(Im(g)) existe et est définie,

Or f est bornée donc f: R  I [a,b] ce qui veut dire que l'ensemble d'arrivée de g par f est un ensemble d'arrivée inclu dans I[a,b] donc f(Im(g) est bornée.

D'où f(g(x)) est bornée.

cas 2: g(f(x)) 

f est définie sur tout R et est bornée sur un intervalle d'arrivée I [a,b]

Donc f: R  I [a,b]

I  R donc g(f(x)) existe et est définie.

Or g étant continue sur R, l'image de I [a,b] est un nécessairement un intervalle J appartenant à R, dont les bornes sont les images de I [a,b] par g.

D'où g(f(x)) est bornée.

Me taper pas dessus si j'ai faux 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 20:23
john_kennedy>> 
 Cliquez pour afficher
oui 
  Posté par 
john_kennedyre : DEFI N°37: Les composées bornées  26-06-07 à 20:27
 Cliquez pour afficher
j'etais pas loin de la salle de torture 

Un autre, un autre ^^ (si vous pouviez donner un peu plus d'exo du niveau de Terminale +++ parce que maths sup je peux pas encore faire