DEFI N°40: Système et matrice

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DEFI N°40: Système et matrice
Posté par 
monrow   26-06-07 à 16:32
Bonjour encore une fois 

Toujours avec l'algèbre.. 

Sujet: Systèmes linéaires et matrices

Niveau: Maths sup et plus

Difficulté: 3 ***

L'énoncé

Citation :

Résoudre le système  suivant:  à l'aide s'une matrice que vous allez définir..

A vous 
 Posté par 
mikayaoure : DEFI N°40: Système et matrice  26-06-07 à 17:50
bonjour monrow

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une solution "évidente" : 

x = 2

y = -1

z = 1

A vérifier et trouver les autres...

 Posté par 
lyonnaisre : DEFI N°40: Système et matrice  26-06-07 à 18:01
mikayaou >>

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Dans ce cas, { x = -2 , y = 1 , z = -1 }  est aussi solution évidente 

monrow >>

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Veux-tu que l'on utilises la technique de réduction d'une quadrique ? Si tel est le cas, en sommant les 3 équations, on obtient :

x²+y²+z²-xy-xz-yz-7 = 0

Donc la matrice à introduire est :

1       -1/2    -1/2

-1/2     1      -1/2

-1/2    -1/2      1

Est-ce la méthode que tu attends ?

Romain

 Posté par 
mikayaoure : DEFI N°40: Système et matrice  26-06-07 à 18:05
salut lyonnais

peux-tu donner un lien explicatif de cette méthode ( si tu en connais un sur le net qui soit bien fait ) ?

merci à l'avance

 Posté par 
monrow re : DEFI N°40: Système et matrice  26-06-07 à 19:56
mikayaou>> 
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il y a une infinité de solutions  ...

lyonnais>> Cliquez pour afficher
 je ne connais pas très bien cette méthode  tu peux nous la montrer stp 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°40: Système et matrice  27-06-07 à 22:40
Indice:

Citation :
Essayez de vous servir de: 

 et de: 
 Posté par 
lafol re : DEFI N°40: Système et matrice  28-06-07 à 09:56
monrow : il me semble avoir déjà vu passer cet exercice sur l'île...
 Posté par 
monrow re : DEFI N°40: Système et matrice  28-06-07 à 10:15
lafol>> J'en sais rien  moi, j'ai pris cet exo d'un bouquin que j'ai ici 
 Posté par 
lafol re : DEFI N°40: Système et matrice  28-06-07 à 10:20
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remarque : A est la transposée de la comatrice de M 
 Posté par 
monrow re : DEFI N°40: Système et matrice  28-06-07 à 10:28
lafol>> 
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Pourquoi? alors que l'une est donnée et l'autre est inconnue? 
 Posté par 
lafol re : DEFI N°40: Système et matrice  28-06-07 à 10:29
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les premiers membres de ton système sont les mineurs de M
 Posté par 
monrow re : DEFI N°40: Système et matrice  28-06-07 à 10:33
lafol>> 
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Tout à fait: x²-yz ... z²-xy sont des mineurs de M. Belle remarque... 
 Posté par 
lafol re : DEFI N°40: Système et matrice  28-06-07 à 10:52
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on a donc, si dét(M) non nul :  , or , comte tenu du système d'origine.

ça donne  : 

Ce dernier système a un déterminant nul, donc une infinité de solutions : (2z, -z, z). 

On remet ça dans le système de départ, et on obtient z²=1, donc 

Donc déjà deux solutions : (2,-1,1) et (-2,1,-1).

si dét(M)=0, je regarderai plus tard ....
  Posté par 
monrow re : DEFI N°40: Système et matrice  28-06-07 à 11:53
lafol>>
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Tu peux montrer que:  sans étude du déterminant..