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x²-2y²=1 donc d'après Bezout x et y sont premiers entre eux

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Soit d un diviseur de x-1 et x+1. alors d divise x+1-(x-1), ie d divise 2. Donc pgcd(x-1;x+1) est soit égal à 1, soit à 2. Si x est pair, alors d vaut 1 (puisque x-1 et x+1 sont impairs). Si x est impair, d=2 car les deux sont pairs. Il est clair que x ne peut pas être pair. En effet, s'il l'était, alors x²-1, ie 2y² serait impair, ce qui est absurde à cause du facteur 2.
Finalement pgcd(x-1;x+1)=2

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Pareillement : x+1-2(x-1)/2=2 d'où pgcd(x+1;(x-1)/2)|2[/tex]
Comme x-1 n'est pas divisible par 4, (x-1)/2 n'est pas divisible par 2 donc la seule possibilité est que pgcd(x+1;(x-1)/2)=1

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Manque plus que la dernière que je traiterai plus tard

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I : si a et b sont premiers entre eux, ils n'ont aucun facteur premier en commun.
dans la décomposition de c² en facteurs premiers, on a uniquement les carrés des facteurs premiers (non nécessairement distincts) de c, et chacun de ces carrés doit donc se retrouver soit dans la décomposition de a soit dans celle de b. Réciproquement, s'il restait un facteur non carré dans a ou b, on devrait avoir son "jumeau" pour l'avoir au carré dans c² : impossible. donc a et b n'ont que des carrés dans leur décomposition en facteurs premiers, ils sont eux mêmes des carrés

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II) Soit d=pgcd(x,y) alors d|x et d|x², de même d|y et d|y². d divise toute combinaison linéaire de x² et y² à coefficient entiers donc d|(x²-2y²) soit d|1. Ainsi pgcd(x,y)=1

Soit d'=pgcd[(x-1),(x+1)] alors d'|(x-1) et d'|(x+1) donc d'|[(x+1)-(x-1)] donc d'|2. Donc d'=1 ou d'=2. On élimine le cas d'=1 en raisonnant par l'absurde. Supposons x pair, alors x² serait pair également. Or la quantité 2y²+1 est impaire donc l'égalité ne peut pas être vérifiée. Donc x est impair et alors (x-1) et (x+1) est pair, donc leur pgcd est 2. D'où pgcd[(x-1),(x+1)]=2, on en déduit que l'un des deux termes est divisible par 2 mais pas par 4.

On a vu que (x-1) est pair et on le suppose non divisible par 4 donc (x-1)/2 n'est pas divisible par 2 donc pgcd[(x+1),(x-1)/2]=1

Enfin x²=2y²+1 <=> y = rac(x-1)*rac[(x-1)/2]. Pour montrer que ces facteurs sont des entiers on montre que (x-1) et (x-1)/2 sont des carrés. On se sert du résultat obtenu en I). On a bien pgcd[(x+1),(x-1)/2]=1 et (x+1)(x-1)/2 = (x²-1)/2 = y² donc on en déduit que ce sont des carrés. CQFD

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POur la première partie c'est un peu clair. Il faut toute une démonstration

Pour la deuxième partie, en général c'est bon. Juste la 3/a qui n'est pas trop claire. Il luis faut une démo + ou - longue

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Ta démonstration est bonne. Mais il lui faut des petites retouches! Il lui faut plutôt une petite autre démonstration qui utilise plus de trucs en arithmétique

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Pour la première question, tu pouvais remarquer un truc... A toi!

Pour la 3/a Il faut une petite démo plujs logique. Sinon pour la dernière tu dois utiliser la première partie que tu n'as pas encore vue

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Oui. Il y a une démonstration qui utilise le faite que beta²|b et b|beta². Jord, un petit indice pour tes défis?