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Il me semble que c'est le centre de gravité?

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Peut-être que oui peut-être que non

As-tu une démo pour confirmer ou infirmer ?

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Je propose le centre de gravité. Je prépare ma démonstration.
Au passage, Romain, comment ça s'est passé les écrits des concours ?

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Si M est un point intérieur au triangle, on note H, I et J les projetés orthogonaux de M respectivement sur (AB), (BC) et (AC).
On minimiser le produit .
Dans un premier temps on écrit :





on a donc


Ensuite, on majorer ceci grâce à l'inégalité arithmético-géométrique

Pour toux x, y et z positifs, on a
avec égalité si et seulement si x, y et z sont égaux

on a donc :



(car M est intérieur au triangle).
et donc ceci est atteint dès que les 3 aires sont égales, c'est-à-dire dès que M est le centre de gravité de ABC. je le démontre ça ?

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Je n'ai pas la même démonstration que toi, mais en effet, il fallait partir sur un calcul avec les aires pour s'en sortir !

Alors pour ce qui est de ta démo ça me va.

Par contre, je veux bien que tu démontres que si les aires sont égales, forcément M est le centre de gravité. Voir si la méthode est la même.

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Pour ce qui est des concours :

Admissibles aux Mines et à TPE mais mort pour Mines Paris (pas assez de point).

J'ai foiré centrale supélec. Donc je passe les oraux et je verrais après ... surement 5/2 en à prévoir (je pourais alors tenter l'ENS)

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pas de problème !
En ce qui concerne la démonstration, j'essaie de la faire.

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Dommage pour les mines de Paris. cela dit, être admissible aux mines en 3/2, faut le faire, donc bravo quand même !
En tous cas, bon courage !

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Notons G (comme par hasard ) le point intérieur au triangle tel que les aires des 3 triangles GAB, GBC et GAC soient égales.
On va montrer que G est le centre de gravité.
On va traduire cette double égalité grâce au déterminant. Les 3 triangles GAB, GBC et GCA sont orientés dans le même sens donc l'égalité de leurs aires implique l'égalité :



Considérons la première égalité. On a alors

Or

Ainsi,

cela veut donc dire que ces vecteurs sont colinéaires. de plus, en supposant eu notre triangle est vrai triangle, ces deux vecteurs sont non nuls, donc il existe un réel telle que

Par permutation circulaire, il existe un autre réel tel que

En soustrayant les deux lignes, on obtient

Or les vecteurs et sont linéairement indépendants (car on a un vrai triangl) donc

On en déduit donc , c'est-à-dire
Donc G est le centre de gravité du triangle ABC.

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La grande classe cette démonstration



En fait, je n'avais pas fini la mienne, mais je pars sur la même idée d'utiliser le déterminant. Je vais essayer une autre démo. Si jamais j'abouti, je posterai dans ma solution.

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merci !

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Pour la démo j'étais passé par le déterminant. Sinon je n'avais pas fait la réciproque. Il me semble qu'il a été posé à l'X (je crois l'avoir vu dans un bouquin de la RMS.

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Sinon je suis dans la même position que toi pour les concours mais je ne pense pas faire 5/2. Je me contenterais d'une école dans la banque des mines.