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Je ne suis pas amoureux des équations fonctionnelles, mais bon, je tente ma chance
C'est pas la fonction nulle?

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Moi j'adore ça

Oui il s'agit de la fonction nulle et c'est très rapide à montrer.

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Pour x=0 et y=0 on a :

Pour x diffférent de 0 et y =0 on a :

Donc la seule  solution de l'équation fonctionnelle est la fonction

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Tu es sur la bonne voie mais ce n'est pas suffisant, tu as montré que l'image de tout réel positif est nulle.

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ah ok,je continue alors.
Merci

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Posons

Pour x=y on a:
Donc la seule solution de cette équation est la fonction

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Donc pour x positif, la méthode est comme la fait moctar

Si x est négatif et y négatif

On suppose que f(x)\neq 0

On a: f(x)=\frac{f(x^2+y^2)-f(xy)}{f(y)}

Et puisque: f(x^2+y^2)=0 (x²+y²>0) et f(xy)=0 (xy>0) ABSURDE

Donc: f(x)=0

si x est négatif est y positif:

On a: f(x²+y²)=f(x)*f(y)+f(xy) et: f(x²+y²)=0 et f(xy)=0 donc: f(x)*f(y)=0 d'où: f(x)=0 ou f(y)=0

On peut conclure que la seule solution de cette équation est la fonction nulle.

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En fait on peut regrouper les deux cas dans le deuxième cas

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Oui j'ai pas fait comme ça mais ça me semble correct

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Pourquoi f(xy)=0 ?

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Non je réctifie pour le deuxième cas...

f(x²+y²)=f(x)*f(y)+f(xy) et f(x²+y²)=0 et f(x)=0 donc: f(x)*f(y)=0 d'où: f(xy)=0

On pose: t=xy avec t<0 donc: f(t)=0

donc pour tout réel, la seule solution est la fonction nulle

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ok.encore merci

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Tu utilises le fait que f(x)=0 alors que c'est ce qu'on veut démontrer.

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Non c'est OK, j'ai oublié que tu considère x positif

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Je redémarre pour que ça soit plus clair..

donc, pour les réels positifs, on sait que la solution est la fonction nulle.

Pour les réels négatifs:

* x négatif et y négatif:

On suppose que

On a:

Et puisque: f(x^2+y^2)=0 (x²+y²>0) et f(xy)=0 (xy>0) ABSURDE

Donc: f(x)=0

** x négatif et y positif

f(x²+y²)=f(x)*f(y)+f(xy)

- f(x²+y²)=0 et f(y)=0 donc: f(xy)=0

On pose: t=xy avec t<0 donc: f(t)=0

Donc f(x)=0 pour tout réel ...

J'espère que je n'ai rien oublié cette fois ci

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Avec x=y=0, on trouve que .
Avec y=0, on trouve pour .
Avec x=y, on trouve , soit finalement

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It's good

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C'est bon

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sa marche pour x =0 et y=0 donc f(x)=0?

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Non tu ne peux pas affirmer d'emblée que f(x)=0 pour tout x réels. Là pour le cas particulier où x=y=0 tu tires en effet f(0)=0. C'est une première étape, teste d'autres valeurs