Je vais donner quelques explications pour la limite de . La démonstration complète est longue et difficile, je ne vais pas la donner, mais juste les idées.
La réponse est : pas de limite !
Tout d'abord, il est vrai que si la limite existe, elle ne peut être que 0.
Mais différents raisonnements nous font penser que ce quotient peut devenir assez grand une infinité de fois, ce qui exclut donc une limite finie.
On peut trouver une démonstration complète dans "Revue de Mathématiques Spéciales, 93ème annéen n°3, novembre 1982", par S. Karlamoff, professeur de Mathématiques Supérieures à Douai.
Il y démontre qu'il existe une infinité de valeurs de n pour lesquelles .
La démonstration s'appuie sur les propriétés des fractions continues pour approcher un irrationnel.
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