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Je ne réponds qu'à la subsidiaire. En 1988 ?  

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Ca sent les olympiades à plein nez (de 1988 d' ailleurs)

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Bravo !!
Reste plus que la question pas subsidiaire

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Absolument, c'est l'exo 4 (donc facile) des OIM de 1988

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La dérivée de est négative sur son domaine de définition.

Sur , f est décroissante de 0 vers moins l'infini.

Sur chaque intervalle ]k,k+1[, avec 0<k<70, f est décroissante de plus l'infini vers moins l'infini. On en déduit l'existence d'une unique solution de l'équation f(x)=5/4 sur l'intervalle ]k,k+1[. De plus, l'ensemble des solutions de l'équation sur ]k,k+1[ est égal à .

Sur l'intervalle , f est décroissante de plus l'infini vers 0. On en déduit l'existence d'une unique solution de l'équation f(x)=5/4 sur l'intervalle  . De plus, l'ensemble des solutions de l'équation sur est égal à .

Je viens donc de démontrer que l'ensemble des solutions de l'équation f(x)=5/4 est la réunion de 70 invervalles disjoints .

La somme des longueurs de ces intervalles vaut
Les réels a_k sont les solutions de l'équation f(x)=5/4, donc les racines du polynôme


On sait donc, grâce à du cours de Maths Sup que


Et donc, finalement, la somme des longueurs des intervalles vaut:

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Une petite faute de frappe au début, tu as oublié les "k" au numérateur de ta fonction f

A part ça, rien à dire