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* Défi : Suite récurrente spéciale *

Posté par
infophile
03-07-07 à 15:10

Bonjour

Difficulté : 5$ \red \rm \star \star
Niveau : \red \rm Terminale +

Citation :
On considère la suite 3$ \rm \{U_1=1\\U_{n+1}=\frac{n}{n+1}U_n+\frac{1}{(n+1)^2}

Trouver l'expression de 3$ \rm U_n et sa limite en 3$ \rm +\infty


Réponse blanquée svp.

Posté par dellys (invité)re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 15:13

Kevin <<  C'est impossible pour les premieres ?

Posté par
infophile
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 15:14

dellys > L'expression si mais la limite a priori non

Posté par
lyonnais
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 15:33

Kevin :

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Posté par
infophile
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 15:36

romain >

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Posté par
moctar
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:05

Bonsoir,

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Posté par
infophile
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:11

moctar >

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moctar
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:14

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Posté par
infophile
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:16

moctar >

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moctar
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:20

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infophile
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:22

moctar >

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moctar
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:23

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Posté par
cailloux Correcteur
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:25

>> Moctar

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Posté par
moctar
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:26

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Posté par
infophile
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:26

cailloux & moctar >

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Posté par
infophile
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:28

moctar >

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Posté par
moctar
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:30

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Posté par
cailloux Correcteur
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:45

Une solution pour la limite:

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Posté par
Justin
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 16:56

Salut,

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Posté par
Justin
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 17:00

Joli cailloux!

Posté par
moctar
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 17:06

Cailloux>>

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Posté par
infophile
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 17:18

Bien vu cailloux

Posté par
cailloux Correcteur
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 17:19

>> Justin et Moctar

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Posté par
lyonnais
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 17:24

Bien vu Cailloux >>

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:D

Posté par
cailloux Correcteur
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 17:31

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Posté par
xunil
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 19:02

bonsoir,

je me suis permis de regarder les bankés en particulier celui de moctar...

je voudrais savoir comment  a t-il fait pour sommer son expression (je n'ai jamais vu ca et j'aimerais bien savoir...)

merci

Posté par
lyonnais
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 19:25

xunil >>

Pour passer de :

4$\Bigsum_{k=1}^n (k+1)U_{k+1}-\Bigsum_{k=1}^n kU_k=\Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}

à :

4$\Bigsum_{k=2}^{n+1} kU_k-\Bigsum_{k=1}^n kU_k=\Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}

Il a fait une ré-indexation dans la première somme. En fait, il a posé :

q = k+1   Donc quand  k = 1  =>  q = 2    et quand  k = n   =>  q = n+1

4$\Bigsum_{k=1}^n (k+1)U_{k+1} = \Bigsum_{q=2}^{n+1} qU_q

Et après tu mets des " k " pour faire plus beau. ok ?

Romain

Posté par
xunil
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 19:42

merci de m'aider mais d'abord comment faire pour sommer (enfin introduire les sigmas)...

Posté par
cailloux Correcteur
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 20:49

Bonsoir xunil,

On part de l' égalité:

4$(k+1)u_{k+1}-ku_k=\frac{1}{k+1} valable pour 4$k=1,2\cdots n

On écrit les n égalités correspondantes pour 4$k=1,2\cdots n:

4$2u_2-u_1=\frac{1}{2}
4$3u_3-2u_2=\frac{1}{3}
\vdots \vdots
4$nu_n-(n-1)u_{n-1}=\frac{1}{n}
4$(n+1)u_{n+1}-nu_n=\frac{1}{n+1}

On somme enfin membre à membre ces n égalités:

4$\sum\limits_{k=1}^{n}(k+1)u_{k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}ku_k=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}

Est-ce plus clair?

Posté par
lyonnais
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 03-07-07 à 20:58

Merci Cailloux pour cette explication, je pense que xunil va mieux comprendre.

Je ne l'avais pas vu répondre ...

Posté par
xunil
re : * Défi : Suite récurrente spéciale * 04-07-07 à 09:50

oui c'est bon merci à tous les 2 , j'ai enfin compris

a+



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