Coucou Kévin

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Tu crois que je vais y arriver ?  

Coucou borneo

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Oui ça utilise les propriétés de base de l'exponentielle puis ensuite ça se résous comme un système classique, tu peux le faire

Effectivement...

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Ce n'était pas dur

je pose e^x = X et e^y = Y

j'obtiens le système X + Y = 5 et (XY)² = 36

ce qui fait que x = ln(2) et y = ln(3) et vice versa

Bonjour

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développons un petit peu pour ceusses qui désirent le faire en zoomant sur un point particulier

comme borneo, posons X = e^x et Y = e^y ( par suite, X et Y ne peuvent être que positifs : il est là, le zoom )

les propriétés des exponentielles donnent e^(2x+2y) = e^2(x+y) = ( e^(x+y) )² = ( e^x.e^y )² = ( X.Y )²

on a ainsi le système :

X + Y = 5
(XY)² = 36

soit les deux systèmes :

X + Y = 5
XY = 6

et

X + Y = 5
XY = -6

on utilise alors la recherche de deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P => ces deux nombres sont solutions de z² - Sz + P = 0

Le premier système fournit z² - 5z + 6 = (z - 3)(z - 2)
les deux solutions sont alors X = e^x = 3 et Y = e^y = 2 => x=ln3 et y=ln2 et vice versa

Le deuxième système fournit z² - 5z - 6 = (z + 1)(z - 6)
les deux solutions sont alors X = e^x = -1 et Y = e^y = 6
Le fait qu'une des solution en z soit négative interdit qu'elle soit une exponentielle
Ce deuxième système n'admet pas de solution réelle
( ceusses qui veulent déterminer les solutions complexes... )

Voilà, juste pour zoomer sur un p'tit point important

Kévin,

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Le système est équivalent à:

Comme la fonction exponentielle est une bijection de R dans R+*,on peut poser le changement de variable suivant tout en gardant l'équivalence.

Bon, ben reste plus qu'à résoudre

Skops >>

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Non, enfin, je ne crois pas. Mais avec exp, si on trouve une valeur strictement psotive de X ou de Y, on sait qu'il n'y a qu'une seule valeur de x et de y qui correxpondent.C'est pour ça que j'a mis l'histoire de la bijection.

Schumi >>

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Ok

Mika

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Je n'ai pas précisé, mais je crois que c'est évident pour tout le monde q'une exponentielle est toujours positive. Même le taupin de la vidéo le sait  

Bonjour,

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donc on a le sytème:



Donc et sont les solutions de l'équation



et

Les solutions sont les couples et
Est ce juste ?

moctar >>

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Il vient d'où ton V(5) ?

1 Schumi 1

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désolé c'est bien 5 que je voulais écrire

moctar >>

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Dans ce cas, je pense que c'est bon.

1 Schumi 1

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ok.merci

Bonjour

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e^x = X  ; e^y = Y   ==>   X + Y = 5   avec X et Y > 0 (*)
e^2x+2y = e^2x*e^2y = 36     ==>  X²*Y² = 36  ==> XY = 6 ou -6 ( non par *)
==> Y = X - 5 et X*(X-5) = 6  ==> (X,Y) = (6,1) ou (-1,-6) (non par *)  ==> (x,y) = (ln6,0)

Bonjour

geo3 > A l'intérieur des balises blank tu mets [img1] là où tu veux placer ton image.

Bonjour
info > ok ça marche et en +  j'ai même vu comment on attachait  2 images .
merci
A+

De rien

Je ne dis pas la réponse tout de suite si d'autres veulent participer.

Salut Kevin ( et merci pour tes énigmes )

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Posons X = e^x  et  Y = e^y

On as :

   ou  

1er cas : XY = -6

X et Y sont racines de Z²-5Z-6 = 0  <=> (Z-6)(Z+1) = 0

Or une des deux racines est négative => impossible car exp est toujours positve.

2ème cas : XY = 6

X et Y sont racines de Z²-5Z+6 = 0  <=> (Z-3)(Z-2) = 0

D'où :  X = 3 et Y = 2      ou     X = 2 et Y = 3

Ainsi :

S = { (ln(2),ln(3)) ; (ln(3),ln(2)) }

Salut romain

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Tatoubon

Hello

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Les couples (x,y) solutions du système sont (ln(3) , ln(2)) et (ln(2) , ln(3)).
Il suffisait de voir que si alors et l'intégrer dans la première équation! Le reste n'est que du calcul simple.

Sauf erreur .

john >

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yes

pas d'interesses pour les solutions complexes de 8:43 ?

Bonjour à tous

Mikayaou >

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on peut utiliser le fait que si z et z' sont deux complexes, alors si et seulement si pour un certain entier k. Du coup, ici, en écrivant que et , on a bien toutes les solutions, qui sont en nombre infini.

tu peux développer un peu plus, kaiser, pour ces solutions complexes ?

Non pas que je veuille être critique sur ta réponse, mais simplement pour en apprendre un peu plus

_{( tu sais, le M. Cadbury : juste un petit peu plus} )

OK, pas de problème.
Je commence par démontrer ce que j'avais utilisé, à savoir que si z et z' sont deux complexes, alors si set seulement si pour un certain entier k.

Pour cela, on écrit z=x+iy, z'=x'+iy' avec x, y, x', et y' des reéls.

On alors
De même, on a

Supposons que on a

En passant au module des deux côtés, on obtient (car les deux autres exponentielle sont de module 1).
Du coup, comme x et x' sont réels, alors x=x'.

Ainsi,

donc



d'où pour un certain entier k.

Donc .

Réciproquement, si z et z' vérifient une telle relation, alors


Pour revenir à notre problème, on recherche x telle que .
Il suffit d'écrire -1 comme une exponentielle.
On sait que , donc notre équation s'écrit donc d'après ce que l'on a fait avant, on a pour k entier relatif.

Pour l'autre, on avait

donc on a de la même manière avec n entier relatif.

Kaiser

merci kaiser pour cette précision, c'est sympa

Bonne fin de semaine

Mais je t'en prie !
Bonne fin de semaine à toi aussi !

Merci

Skops