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 Défi : Trigonométrie et triangle rectangle 
Posté par 
infophile  22-08-07 à 16:31
Bonjour 



Citation :
Démontrer que si  alors le triangle  est rectangle.


Réponse blanquée svp.


 Posté par 
Nofutur2re :  Défi : Trigonométrie et triangle rectangle   22-08-07 à 17:48
-->Kevin



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On a sinA/a=sinB/b=sinC/c.

En appliquant cett propriétét à Al Khashi, on obtient : sin2A=sin2B+sin2C-2*sinC*sinB*cosA.

En reportant dans l'équation de départ, çà donne :

2*sin2A+2*sinC*sinB*cosA=2 ou

-2*cos2A+2*sinC*sinB*cosA=0



1. soit cosA=0 et le triangle est rectangle en A.

2. soit cosA=sinB*sinC. Comme cosA =- cos (B+C),= -cosB*cosC+sinB*sinC, on a cosB*cosC=0, le triangle est rectangle en B ou C.
 Posté par 
infophilere :  Défi : Trigonométrie et triangle rectangle   22-08-07 à 18:00
Nofutur >



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Bonne méthode j'avais fait plus bourrin moi 
 Posté par 
CathrXre :  Défi : Trigonométrie et triangle rectangle   22-08-07 à 18:08
J'essaie !

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ABC rectangle en A équivaut à:

AB²+AC²=BC², équivaut à BC²sin²(C)+BC²sin²(B)=BC² et sin²(A)=1

ce qui équivaut à sin²(C)+sin²(B)+sin²(A)=1+1=2



 Posté par 
infophilere :  Défi : Trigonométrie et triangle rectangle   22-08-07 à 18:12
CathrX >



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Là t'as montré que quand c'est rectangle alors c'est bien égal à 2, mais la réciproque ? 
 Posté par 
CathrXre :  Défi : Trigonométrie et triangle rectangle   22-08-07 à 18:17
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On ne peut pas résonner par équivalence ?
 Posté par 
spmtbre :  Défi : Trigonométrie et triangle rectangle   22-08-07 à 18:21
>CathrX 

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pardon pour ce vilain jeu de mots : ce sont les cloches qui résonnent !! toi , tu raisonnes !! 
 Posté par 
infophilere :  Défi : Trigonométrie et triangle rectangle   22-08-07 à 18:21
spmtb > 
 Posté par 
infophilere :  Défi : Trigonométrie et triangle rectangle   22-08-07 à 18:25
Cathrx >



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Non parce que tu pars d'une configuration où ABC est rectangle et tu en déduis que ça fait 2, mais si tu pars de sin²a + sin²b + sin²c = 2 rien ne dis que sin²a = 1 et sin²b+sin²c = 1 
 Posté par 
CathrXre :  Défi : Trigonométrie et triangle rectangle   22-08-07 à 18:31
Oups ! Excusez-moi pour ces fautes de résonnance  !
 Posté par 
geo3re :  Défi : Trigonométrie et triangle rectangle   22-08-07 à 18:48
Bonjour

plus bourrin

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sin²A + sin²B + sin²C = 2 <=>

sin²A + sin²B + sin²(A+B) = 2 <=>

1 - sin²A + 1 - sin²B - (sinA.cosB + sinB.cosA)² = 0 <=>

cos²A + cos²B - sin²A.cos²B - sin²B.cos²A - 2sinA.cosA.sinB.cosB = 0  <=>

cos²A(1 - sin²B) + cos²B(1 - sin²A) - 2sinA.cosA.sinB.cosB = 0 <=>

2.cos²A.cos²B - 2sinA.cosA.sinB.cosB = 0 <=>

2.cosA.cosB.(cosA.cosB - sinA.sinB) = 0 <=>

cosA.cosB.cos(A+B) = 0 <=>

cosA.cosB.cos(pi - C) = 0 <=>

-cosA.cosB.cosC = 0 <=>

A=pi/2 ou B=pi/2 ou C = pi/2

A+
  Posté par 
infophilere :  Défi : Trigonométrie et triangle rectangle   24-08-07 à 14:03
geo3 >



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C'est bon 