Cliquez pour afficherà défaut d'une solution rigoureuse, il n'est pas moins intéressant de trouver comment réduire un 'tâtonnement au minimum'
l'égalité équivaut à (a+1)(b+1)(c+1) = 2 abc
abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1= 2 abc
ab+a+b+1 = abc-ac-bc-c
c = (ab+a+b+1)/(ab-a-b-1)
pour un même produit ab, la fraction est maximale quand la somme a+b est maximale, c'est-à-dire quand l'un des deux nombres, par exemple a, est le plus proche possible de zéro
ici, a ne peut valoir moins que 2; en appelant ab = P, b = P/2
max c = (P+2+(P/2)+1)/(P-2-(P/2)-1) = (3P/2 + 3) / (P/2 - 3)
cette fraction est maximale quand P est minimal, car quand P croît, la fraction se rappproche de 3; or a et b ne peuvent être tout deux égaux à 2 (3/2 * 3/2) > 2; c est au minimum 3, P au minimume 6 et la fraction au maximum 7, ainsi que c
aucun des nombres n'est supérieur à 7
2 est le produit de fractions dont le numérateur dépasse de 1 le dénominateur
tout facteur premier autre que 2 présent dans le dénominateur (c'est-à-dire dans les solutions a, b, c) doit se retrouver dans le numérateur et inversément
facteur 7 : on a les fractions 8/7, 7/6; la troisième est 84/56 ou 3/2; le triplet est 7, 6 , 2
facteur 5 : on a les fractions 6/5, 5/4; la troisième est 40/30 ou 4/3; le triplet est 5, 4, 3
facteur 3 : 6 n'apporte pas de nouvelles solutions, car elles se retrouvent par les facteurs 5 et 7; avec 3 : 4/3 et 3/2, la troisième fraction devrait être 12/12 = 1 et est irréalisable ici
2 et 4 feraient intervenir les solutions ou l'impossibilité précédentes
récapitulation : deux solutions : 7 6 2 et 5 4 3