Défi: une suite surprenante

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Défi: une suite surprenante
Posté par 
perroquet  24-06-07 à 21:52
Un petit défi pour les Terminales.

Niveau: 2-3 *

Je considère la suite définie par:

       et      

Calculer   
 Posté par 
cailloux re : Défi: une suite surprenante  24-06-07 à 22:00
Bonsoir,

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On retombe sur  !   en remarquant que   
 Posté par 
Skopsre : Défi: une suite surprenante  24-06-07 à 22:03
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Trouver l'expression en fonction de n ?

Si oui, comment fait on ?

Skops 
 Posté par 
cailloux re : Défi: une suite surprenante  24-06-07 à 22:05
>> Skops 

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Il faut conjecturer en partant d' un terme en 
 Posté par 
monrow re : Défi: une suite surprenante  24-06-07 à 22:07
Salut Perroquet 

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Donc une voie qui n'ammène à rien peut-être 

Je trouve: u_{2007}=4^{2007}(1-u_0)(1-u_1)...(1-u_{2006}

Donc c'est pas une bonne voie, non?

Sinon il faut chercher le terme général .. 

Edit Kaiser
 Posté par 
Skopsre : Défi: une suite surprenante  24-06-07 à 22:07
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On teste les premières valeurs ?

Skops 
 Posté par 
monrow re : Défi: une suite surprenante  24-06-07 à 22:08
dsl 

erreur de balises
 Posté par 
perroquetre : Défi: une suite surprenante  24-06-07 à 22:08
>cailloux

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Exact.

On peut remarquer plus généralement que la suite définie par 

est périodique à partir d'un certain rang si et seulement si a est rationnel

 Posté par 
monrow re : Défi: une suite surprenante  24-06-07 à 22:21
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Je donne une autre méthode puisqu'avant j'ai trouvé que:

ça donne rien 

On a 

donc en utilisant le faite que: 

ON peut dire que le terme général de  est:

Donc 

ET après 
 Posté par 
perroquetre : Défi: une suite surprenante  24-06-07 à 22:25
> monrow

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Il n'y a plus qu'une étape.

Fais la division euclidienne de 2^(2007) par  2^(2007)-1
 Posté par 
cailloux re : Défi: une suite surprenante  24-06-07 à 22:26
>> Monrow

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 Posté par 
monrow re : Défi: une suite surprenante  24-06-07 à 22:30
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oui oui 

Tro beau défi Perroquet  Merci  
 Posté par 
john_kennedyre : Défi: une suite surprenante  25-06-07 à 00:25
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fonction constante...
 Posté par 
john_kennedyre : Défi: une suite surprenante  25-06-07 à 00:29
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enfin non, pas constante ce n'est le mauvais terme. Disons que tous les n termes, elle est constante. Il est tard et mon cerveau fonctionne mal, au temps pour moi !
 Posté par 
Justinre : Défi: une suite surprenante  25-06-07 à 12:44
Joli joli!

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Si  alors .

Comme  alors .

Merci 
 Posté par 
Justinre : Défi: une suite surprenante  25-06-07 à 12:46
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Mince! J'ai oublié le dénominateur, donc on retombe bien sur ! 
  Posté par 
perroquetre : Défi: une suite surprenante  26-06-07 à 14:47
Bonjour.

La solution du défi (qui a été trouvée par cailloux,monrow, justin).

Si on note , on a:

On déduit de ce résultat que:

       (par récurrence sur n)

En particulier:

On en déduit que la suite (u_n) est périodique de période 2007.

On peut généraliser:

si    et      alors:

La suite (u_n) est périodique à partir d'un certain rang si et seulement si a est rationnel.