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défini sur N

Posté par
sterben
19-07-17 à 14:05

Bonjour, je ne sais pas comment m'y prendre pour prouver que la suite (In) est définie sur N.
On pose pour tout entier naturel n :
In= l'intégrale de 0 a 1  de (x^2n+1)/(1+x^2)

Apparemment il faut dire que c'est le quotient de deux fonction dérivables sur R donc son intégrale est définie sur N

Merci de m'éclaire à ce sujet.

Posté par
larrech
re : défini sur N 19-07-17 à 15:47

Bonjour,

Il vous faut montrer que quel que soit   {n}\in\mathbb{N}, la fonction sous le signe somme  est intégrable sur [0, 1]

Posté par
sterben
re : défini sur N 19-07-17 à 18:56

je ne suis pas sur de comprendre, "sous le signe somme"?

Dois-je utiliser la propriété qui montre que de 0 à 1 de f(x) dx correspond à la
lim      1/nf(k/n)
n
Ceci fonctionne pour toutes fonctions continues.
Et notre fonction est dérivable , donc continue et elle est bien définie sur

Est cela que l'on attend?
merci

Posté par
sterben
re : défini sur N 19-07-17 à 19:06

c'est bon je viens d'avoir la réponse!
j'avais focalisé sur l'ensemble de définition Or celui ci n'importait pas dans la résolution de l'exercice.  
Il fallait seulement justifier l'existence de l'intégrale In
on le démontrait en disant que la fonction était dérivable puis continue sur \left[01 \right]

Posté par
larrech
re : défini sur N 19-07-17 à 19:22

OK.
"Sous le signe somme" est une expression sans doute un peu vieillotte (comme moi) pour désigner la fonction à intégrer qui se trouve donc être écrite juste après le signe \int.
J'avais mis ça par pure flemme de la recopier.

Posté par
cocolaricotte
re : défini sur N 19-07-17 à 19:27

Bonjour

IN n'est pas inutile, ici.

Tu sembles tout mélanger le domaine de définition des fonctions f qu'on intègre et le fait que I_n existe pour tout n dans IN  ,  ce qui justifie que la suite (I_n) est définie sur IN. (c'est n qui appartient à IN)

Les fonctions f sont définies sur IR.

Posté par
sterben
re : défini sur N 20-07-17 à 10:52

Oui je m'en suis rendu compte que plus tard merci

Posté par
carpediem
re : défini sur N 20-07-17 à 16:35

salut

f_n(x) = \dfrac {x^{2n} + 1} {1 + x^2} est définie (et continue) sur \R

0 \le x \le 1 => 0 \le f_n(x) \le 2 => 0 \le \int_0^1 f_n(x)dx \le 2

...



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