Bonjour, Ma question va sûrement vous paraître bête, mais voilà, comme c'est les vacances, j'ai quelques trous de mémoire... et cela concerne les bases même de la dérivation :/ Pourriez vous m'aidez s'il vous plaît? Je vais illustrer mon problème à travers deux exemples, désolée si c'est un peu long...

Souvent dans mes exercices, on me donne une fonction, et on me demande de la dériver. Avant même de dériver, il faut toujours dire "f est dérivable sur tel intervalle" pour pouvoir avoir le droit de dériver.

1)Pour certaines fonctions c'est simple.
Par exemple, la fonction est visiblement définie sur u vu que d'une part, la fonction logarithme ne peut pas avoir un x négatif ou nul, et que d'autre part, le dénominateur ne doit pas être nul donc pas égal à 1 (car ln(1) = 0).

Nous avons défini l'ensemble de définition de notre fonction. Maintenant, avant de dériver cette fonction, il va falloir d'abord dire son ensemble de dérivabilité. Comme on nous dit souvent au lycée, une fonction est généralement dérivable sur son ensemble de définition. Alors, dérivons.

On obtient comme dérivée:

Et là, si on regarde l'ensemble de la dérivée, on obtient le même: car on a toujours les mêmes conditions. A savoir que logarithme n'existe pas quand x est négatif ou nul, et bien sur, il faut que le dénominateur ne soit jamais égal à 0, c'est à dire pour x = 0 ou x = 1, sachant que ln s'annule en 1.

Conclusion: ici, on a eu de la "chance" car l'ensemble de dérivabilité était le même que l'ensemble de définition.



2)Pour d'autres fonctions, cela me pose un problème.
Par exemple, la fonction . En effet, l'ensemble de définition de cette fonction est , car il faut que soit toujours strictement positif, pour pouvoir la mettre dans le logarithme.

Donc là, quand j'ai cet exemple de fonction, je dit: "Notre fonction est définie sur et dérivable sur..." là je bloque! En effet, comment savoir sur quel intervalle on doit avoir notre x, si on ne sait même pas quelle "tête" aura la dérivée? Bon, même si je n'ai pas définit l'ensemble de dérivabilité, je dérive quand même pour voir ce que j'obtiens. J'obtiens:



Si on regarde l'ensemble de la dérivée, on trouve qu'elle marche pour tout x de uu.

Conclusion: l'ensemble de dérivabilité est bien différent que l'ensemble de définition de ma fonction!

Or, je n'ai pas le droit de dériver ma fonction sans avoir dit "ma fonction est dérivable sur tel intervalle".

Comment obtenir l'ensemble de dérivabilité d'une fonction sans la dériver en premier?

Je suis désolée de paraître c**ne, mais au lycée on ne m'a jamais vraiment dit comment faire! Merci de m'aider!