Bonjour, voici un énoncé d exercice ainsi que ma reponse, pourriez
- vous me corriger et m'indiquer vos remarques car j' ai quelques
doutes. Je n'ai pas réussi le 1)b) donc j' ai fais une conjecture
pour terminer l exercice. Merci d'avance

Enoncé :
1)f est la fonction définie sur R par f(x) = -40x^2+240x+1600.
   a) Déterminer la forme canonique de f(x)
   b) Démontrer que la fonction f admet un maximum en une valeur que
l'on determinera.
   c) Resoudre dans R l'inequation f(x)>1710
2)Un exploitant d‘une salle de cinema constate que si le prix des places
est de 4 euros, le
nombre des spectateurs est de 400. L'assistance diminue de 40 personnes
chaque fois que le prix des places augmente de 1 euro. Les charges
fixes pour chaque seance s'élèvent a 1710 euros .
On désigne par n le nombre de successives
a)Exprimer, en fonction de n, le montant r(n) de la recette
b)A quel intervalle doit appartenir n pour assurer un bénéfice ? Donner
les valeurs possibles de n.
c)Combien l'exploitant doit - il faire payer la place pour obtenir une recette
maximale ?
Ma réponse :
1)a) La forme canonique d'un trinome ax^2+bx+c s' écrit sous la forme
a [(x+b/2a)- /4a^2] avec  
= b^2-4ac
f(x)=-40x^2+240x+160 ; a=-40 b=240 c=1600
On a alors delta= 240^2-4*(-40)*1600 = 313 600
La forme canonique de f(x) s écrit alors f(x) = -40 [(x-240/80)^2 -
313 600/6 400]
f(x) = -40 [(x-3)^2 - 49]
la forme canonique de f(x) est donc -40 [(x-3)^2 - 49]
b) Déterminé graphiquement : f admet un maximum en 3 qui est de 1960
c)f(x)>1710 équivaut à -40x^2+240x+1600-1710>0
                    équivaut à -40x^2+240x-110>0
soit le u(x) = -40x^2+240x-110 avec a=-40  b=240 c=-110

delta=240^2 - 4 * (-40) * (-110)
delta=57 600 - 17 600
delta=40 000 donc delta>0 donc le trinôme a deux racines. On a racine 40 000
= 200

x1 = (-240 - 200)/(-80)                          
x1 = (-440)/(-80)
x1 = 11/2

x2 = (-240 + 200)/(-80)
x2 = (-40)/(-80)
x2 = ½

or on a delta>0 donc f est du signe de a à l extérieur de l intervalle
des racines
(imaginer un tableau)
x  -infini    ½    11/2    +infini

u(x)         -  0  +    0   -

On a donc u(x) >0 sur l intervalle ½ ; 11/2  donc les solutions de l
inéquation f(x)>1710 sont les réels appartenants a  ½ ; 11/2
2)a) Soit r(n) le montant de la recette,
on a alors r(n) = (400 - 40n) (4+n) -1710
                   r(n)= -40n^2 +240 n -110
b)Pour obtenir une bénéfice, les charges fixes étant déjà déduite, il faut
que la recette soit supérieure a 0
soit r(n) > 0
soit -40n^2 + 240 n -110 >0
or d' après le 1)c) -40n^2 + 240 n - 110>0 sur l intervalle  ½ ; 11/2


Les valeurs possible de n sont alors 1, 2, 3, 4 et 5

c)Pour obtenir une recette maximale, il suffit que -40n^2 + 240n + 1600
soit maximal, soit d apres le 1)b) il faut que n=3 soit que le prix
des places soit égal à 4+3 soit 3 euros