Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale ArithmétiqueTopics traitant de Arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Démarrage binôme de Newton

Posté par
AsPiraTeuRe 21-08-18 à 22:58

Bonsoir,

Je ne sais pas comment commencer mon exercice.

Énoncé :

En développant (1-x)^{2n}, puis en posant x=1, calculer \sum_{k=0}^{n}{}\begin{pmatrix} \\ 2n\\ 2k \\ \\ \end{pmatrix}

Voici ce que j'ai fais :

(1-x)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n}{}\begin{pmatrix} \\ 2n\\ k \\ \\ \end{pmatrix} 1^{2n-k}   (-1)^k  x^k

Mon problème c'est qu'on demande de trouver un résultat pour \begin{pmatrix} \\ 2n\\2k \\ \\ \end{pmatrix} et moi j'ai \begin{pmatrix} \\ 2n\\k \\ \\ \end{pmatrix}.

Ai-je fais une erreur quelque part ou non?

Je vous remercie d'avance,
Alex.

Posté par
ThierryPomare : Démarrage binôme de Newton 21-08-18 à 23:05

Bonsoir,

Remarquer que k\in2\,\N\cup(2\,\N+1), avec 2\,\N\cap(2\,\N+1)=\emptyset.

Posté par
AsPiraTeuRere : Démarrage binôme de Newton 21-08-18 à 23:18

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire

Posté par
flightre : Démarrage binôme de Newton 21-08-18 à 23:45

salut

je ne pense pas que tu ait fait d'erreur il faut peut etre decomposer ta somme en somme de termes pairs et somme de termes impairs

Posté par
DOMOREADémarrage binôme de Newton 22-08-18 à 09:51

bonjour,
j'espère que tu a remarqué que ta somme est nulle pour x=1
calcule donc (1+x)^{2n}
as-tu une idée de la suite à venir ?

Posté par
AsPiraTeuRere : Démarrage binôme de Newton 22-08-18 à 10:49

Bonjour,

Si x=1

0 = \sum_{k=0}^{2n}{\begin{pmatrix} \\ 2n\\k \\ \\ \end{pmatrix}}-1^k

Mais je ne sais pas quoi faire ensuite.


Je me retrouve avec \sum_{k=0}^{2n}{} et je dois retrouver \sum_{k=0}^{n}{} et c'est la première fois que je fais face à cette situation.

Posté par
DOMOREADémarrage binôme de Newton 22-08-18 à 11:17

non pas du tout, tu n'as pas compris.
avec (1+x)^{2n} tu n'as que des termes positifs
avec (1-x)^{2n} tu as alternance de termes  positifs et négatifs mais ce sont les mêmes termes en valeur absolue

la première somme te donne 2^n si tu remplace x par 1

la deuxième te donne 0 en remplaçant x par 1


En développant chaque terme, quelle expression obtiens-tu pour (1+x)^{2n}+(1-x)^{2n}?  et quelle est sa valeur pour x=1?

Posté par
AsPiraTeuRere : Démarrage binôme de Newton 22-08-18 à 12:09

Pour (1+x)^{2n} :

(1+x)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n}{}\begin{pmatrix} \\ 2n\\k \\ \\ \end{pmatrix} 1^{2n-k} x^k

Avec x=1

(1+1)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n}{}\begin{pmatrix} \\ 2n\\k \\ \\ \end{pmatrix} 1^{2n-k} 1^k    \Leftrightarrow 2^{2n} = \sum_{k=0}^{2n}{}\begin{pmatrix} \\ 2n\\k \\ \\ \end{pmatrix} 1^{2n-k} 1^k


Pour (1-x)^{2n} :

(1-x)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n}{}\begin{pmatrix} \\ 2n\\k \\ \\ \end{pmatrix} 1^{2n-k}  (-1)^k   x^k

Avec x=1

(1-1)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n}{}\begin{pmatrix} \\ 2n\\k \\ \\ \end{pmatrix} 1^{2n-k} (-1)^k  1^k    \Leftrightarrow 0 = \sum_{k=0}^{2n}{}\begin{pmatrix} \\ 2n\\k \\ \\ \end{pmatrix} 1^{2n-k} (-1)^k 1^k

Posté par
AsPiraTeuRere : Démarrage binôme de Newton 22-08-18 à 12:15

Petite erreur de ma part. Grâce à une vidéo, je sais que qu'on a toujours \begin{pmatrix} \\ n\\k \\ \\ \end{pmatrix} et non pas \begin{pmatrix} \\ 2n\\k \\ \\ \end{pmatrix}

Posté par
DOMOREADémarrage binôme de Newton 22-08-18 à 14:29


décidément tu n'as rien compris à mon aide
J'utilise les anciennes notations  pour les combinaisons
Dans le développement de tes calculs je te rappelle que 1^p=1 ,fais donc disparaître les  1^{2n-k}{

Tu mélanges tout car tout simplement


C_{2k}^{2n} correspond à un C_{k'}^{2n} avec k' pair

donc le texte te demande de déterminer la somme des termes positifs du développement de (1-x)^{2n} en remplaçant x par 1
ce sont donc des termes de la forme C_{2n-2k}^{2n}  puisque ((-1)x)^{2n-2k}=x^{2n-2k} qui est égal à 1 si x=1, il ne te reste donc que la somme des Coeff correspondants C_{2n}^{2k}

Une fois ceci compris, reprends ce que j'ai écris à 11h 17

Posté par
AsPiraTeuRere : Démarrage binôme de Newton 22-08-18 à 16:47

Je ne crains de n'avoir toujours pas compris ...

Essayons de le faire étape par étape :

Première étape : j'applique le binôme de Newton à (x-1)^{2n}

(x-1)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n}{}\begin{pmatrix} \\ 2n\\2k \\ \\ \end{pmatrix}  - x^{2n-2k}   1^{2k}      \Leftrightarrow (x-1)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n}{}\begin{pmatrix} \\ 2n\\2k \\ \\ \end{pmatrix}  - x^{2n-2k}

Posté par
DOMOREADémarrage binôme de Newton 22-08-18 à 17:37

f(x)=(x-1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}C_{2n}^kx^k\times(-1)^{2n-k}=\sum_{k=0}^{n}C_{2n}^{2k}x^{2k}+\sum_{k=0}^{n}(C_{2n}^{2k-1}x^{2k-1}\times(-1))=\sum_{k=0}^{n}C_{2n}^{2k}x^{2k}-\sum_{k=0}^{n}(C_{2n}^{2k-1}x^{2k-1})=S_1(x)-S_2(x)
g(x)=(x+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}C_{2n}^kx^k\times(1)^{2n-k}=\sum_{k=0}^{2n}C_{2n}^kx^k=S_1(x)+S_2(x)

f(1)=0, g(1)=2^{2n} attention dans le développement de g(x) les termes de S_1(x) et de S_2(x) sont intriqués
Il faut bien que tu comprennes que les termes de la somme constituant g(x) sont identiques en nombre et en valeur absolue aux termes constituant f(x) seuls  n  termes parmi les 2n+1  de f(x) sont négatifs.

j'ai regroupé les termes affectés du signe "moins" à la fin de l'expression de f(x);  les termes négatifs sont qui sont au passage d'un entier k impair (-1){2k+1}=-1

donc S_1(1)=S_2(1) puisque la différence est nulle  et g(1)=S_1(1)+S_2(1)=2^{2n}= 2S_1(1)

or la somme que l'on te demande de calculer est S_1(1)



Si tu as du mal avec cette écriture, donnes toi la peine de développer (x-1)^6  et (x+1)^6   6=2\times 3

et dans ce cas particulier écris l'expression demandée dans ton exercice

Posté par
matheuxmatoure : Démarrage binôme de Newton 22-08-18 à 18:02

bonjour.. je m'imisce...
dans ta première ligne DOMO (que je salue) et dans la somme des impairs ... l'indice k doit commencer à 1 et non à 0 il me semble
mm

Posté par
DOMOREADémarrage binôme de Newton 22-08-18 à 18:10

bonjour matheuxmatou,

tout à fait, merci pour ta lecture attentive


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !