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Démasqué par ses grands diviseurs
Bonjour à tous 
Un petit problème d'arithmétique pour tous :
On peut facilement trouver deux entiers naturels distincts qui ont le même plus grand diviseur . Et s'ils ont les mêmes deux plus grands diviseurs , les même trois plus grands diviseurs ...
On s'amuse et on blanke uniquement si on a tout trouver et qu'on ne veut pas divulgâcher la solution .
Imod
Cliquez pour afficherOui , on devine le résultat assez rapidement mais comment le justifier simplement et complètement ?
Imod
Soient les deux plus grands diviseurs propres de
. Deux cas se présentent.
Si , alors
, puisque
est le plus petit diviseur de
supérieur à
. Or l'inégalité stricte ferait de
un diviseur strictement compris entre
et
, donc
, puis
.
Sinon, divise
, donc
. Dans les deux cas,
et
déterminent
de façon unique.
Ainsi, deux entiers distincts ne peuvent avoir les mêmes deux plus grands diviseurs propres, ni donc les mêmes trois, quatre, etc.
Bonjour,
Je n'ai pas bien suivi
soit 51 et 34 ,il me semble qu'ils ont tous deux 17 comme plus grand diviseur...
@Mdr_non , c'est bon . J'ai une méthode un peu plus courte qui , en plus , donne instantanément la valeur de l'entier initial .
@Dpi , tu as bien suivi . Cherche maintenant deux entiers différents qui ont les deux mêmes plus grands diviseurs .
Imod
Comme tout le monde a lâché l'affaire , donne ma solution .
Le quotient des deux plus grands diviseurs propres d'un entier n est l'inverse de celui de ses deux plus petits diviseurs propres lesquels sont de la forme { p , p²} ou { p , q } avec p et q premiers . Alors n est le produit du plus grand diviseur de n par le minimum de p et q . On n'a pas utilisé la valeur de n dans le raisonnement , c'est donc la seule solution au problème .
Par exemple , si les plus grands diviseurs de n sont 105 et 42 , le quotient des deux plus petits diviseurs est 5/2 donc n = 2 X 105 = 210 .
Imod
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