Bonjour
Je n'ai pas compris du tout ce qu'il faut utiliser pour répondre a la question n°1

En le faisant avec la calculette je trouve (3,9 ;3,1) pour la position du point M voici ma démarche  
x²+ y² = 25
Les distances M A et MB sont donnees par :
MA = √(x+5)²+y² et MB = √(x-5)²+y².
MA + MB = 9√2
√(x+5)²+y² + √(x-5)²+y² =  9√2 ⟺ √(x+5)²+ (25-x²) + √(x-5)²+(25-x²)  ⟺
√(x² + 5x + 5x + 25 + 25 - x²) + √(x²-5x - 5x + 25 + 25  -x² =  9√2 ⟺
√(10x + 50)  + √(-10x + 50) =  9√2 ⟺ √10(x+5)  + √10(5-x) =  9√2
Pour la suite j'ai pas réussi a développer et j'ai juste tapper sur la calculette √10(x+5)  + √10(5-x) =  9√2. Est ce que c'est juste et comment on trouve

Bonjour

Le triangle AMB est rectangle.  

On peut se ramener à trouver deux nombres dont on connait la somme et le produit.

Mais comment peut t'on savoir que le triangle AMB est rectangle

Triangle inscrit dans un demi-cercle.

la mesure de l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc
mesure de l'angle \widehat{AOB}=180  donc la moitié 90

Le triangle AMB est rectangle en M d'après le thèorème de pythagore on a :
MB² + MA² = AB²?

Il faut utiliser la trigonomètrie pour trouver MA ou MB?

Non, la résolution de ce système

\begin{cases}x^2+y^2=10^2\\ x+y=9\sqrt{2}\end{cases}

qui conduit à la résolution d'une équation du second degré

AB = 10
MA + MB = 9√2 ⟺ (MA + MB)² = 162 ⟺ MA² +MB² +2MAMB = 162 ⟺MAMB = 31

oui

ou en simplifiant à résoudre x+y=9\sqrt{2} et xy=31

x et y sont solutions de X^2-SX+P=0

x = 15,36 ou 4,24 qui correspond au valeur de MA et MB donc la position du point M c'est quoi?

Désolé erreur de frappe sur la calculette x = 8,48 ou 4,24

J'ai posé x= MA et y=MB

On trouve x= \dfrac{9\sqrt{2}-\sqrt{38}}{2}\approx 3.28175  ou x= \dfrac{9\sqrt{2}+\sqrt{38}}{2}\approx 9,446.

pour y, on a alors réciproquement

\dfrac{9\sqrt{2}+\sqrt{38}}{2} ou y=  \dfrac{9\sqrt{2}-\sqrt{38}}{2}

Illustration

Effectivement j'avais fait une erreur en calculent delta merci. Pour la question 2 le minimum c'est 10 lorsque M est au milieu MA + MB = 10 pour le maximum je sais pas trop

Le minimum est bien 10, mais non pour la raison que vous donnez.

Quand MA  = 5 ce n'est pas le milieu du cercle mais c'est quand y est égale au rayon qu'on atteint le minimum

On atteint le minimum lorsqu'un élément de la somme est nul.
Si vous dites que M est à la distance 5 de A et de B, M ne se trouve pas sur le cercle

Le minimum est a 10 car 0 + 10

Ce qui signifie que M est en A ou en B.

Voir inégalité triangulaire
Dans un triangle, la somme de 2 côtés est supérieure au troisième côté.

Pour le maximum ?

Le maximum c'est l'endroit ou le point M serat le plus éloigné de A et de B a la fois c'est a dire son sommet. Ce qui formera un triangle isocèle est donc MA = MB lorsque MA = √50 puisque MA² + MB² = 100. ?

Donc le maximum de MA + MB = 14,14 soit 2√50 = 10√2

maximum lorsque MA=MB,   M appartient à la médiatrice de [AB]

MA=5\sqrt{2}

D'accord

Bonjour,
Je ne suis pas certaine que les démonstrations pour la question 2) soient bien comprises par xamel41062.

Pour le minimum, l'inégalité triangulaire dans le triangle AMB donne AM + MB AB.
Et l'inégalité est stricte si M n'est pas sur le segment [AB].
D'où AM + MB > 10 sauf si le point M est en A ou B.

Merci j'ai compris

Bonjour à toutes et à tous,

Puisque Sylvieg relance le problème, je me permets d'exprimer mes propres doutes. La question 2

Pour le maximum, que veut dire " le plus éloigné de A et de B a la fois c'est a dire son sommet " ?
C'est peut-être une intuition, mais pas une démonstration.
On soupçonne que le maximum est atteint quand MA = MB.
Or MA² + MB² = 100.
On cherche donc à démontrer que le maximum est atteint quand
MA² = MB² = 50.

On peut poser a = MA² - 50 et chercher à démontrer que MA + MB est maximum quand a = 0.

On peut trouver plus naturel de poser x = MA².
On a alors (MA+MB)² = 100 + 2MAMB.
MA + MB sera donc maximum quand MAMB le sera.
Ou encore, quand (MAMB)² le sera.
Or (MAMB)² = x(100-x).
Écrire le trinôme -x²+ 100x sous forme canonique permet de conclure.

Bonjour ZEDMAT
Messages croisés. Je vais lire attentivement le tien.

Bonjour,
une autre façon de procéder :
posant S=AM+BM et P = AM.BM
il vient (Pythagore) S²-2P=AB², soit S²=AB²+2P
en appelant h la hauteur issue de M, l'aire du triangle donne P=h.AB et donc S²=AB²+2h.AB sera maximale quand h sera maximale

Et minimale quand h = 0

Je reprends mon idée initiale (juste pour le fun !!).
Si H est le projeté de M sur [AB], on pose AH = x.
Relation métrique dans le triangle rectangle AMB (encore étudiées  ??) :
AM²=AH*AB = x*10 et MB² = HB*AB = (10-x)*10
d'où
AM +BM = f(x) = (10x) +(100-10x) avec x0 et x10
On étudie le sens de variation de cette fonction.

Après quelques calculs, on obtient la fonction dérivée :
f '(x) = (50-10x) / [x*(100-10x)]
L'étude de son signe sur l'intervalle [0;10] permet de faire le tableau de variation de f.

     x | 0                             5                                     10
f'(x)|                 +             0                      -
  f     | 10     croit        102    décroit      10


Sûr que c'est plus long .....