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démo de cours manquant: lim e^x / x en +00

Posté par
laotze 06-05-05 à 00:26

Bonjour à tout le monde!

Voilà comme vous le voyez, je n'arrive pas à démontrer une question de cours: montrer que \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty

PS: j'ai besoin aussi une généralisation de la démonstration, si les mathîliens pouvaient m'aider, je leur seraient très reconnaissant!

Voici le problème: montrer que pour tout n naturel, \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty

Posté par jayrhum (invité)re : démo de cours manquant: lim e^x / x en +00 06-05-05 à 00:36

Yop,

Par ici mon cher...

Page 4 de ce joli pdf:

Je ferais pas mieux...

Le site est super bien foutu, voici le lien du site pour ceux que ca intéresse:


Ca me paraît être de la boulette pour ceux qui révisent le bac...
(dont moi pour la douzième fois...)

Posté par
H_aldnoerre : démo de cours manquant: lim e^x / x en +00 06-05-05 à 00:38

slt laotze !


3$\textrm demontrons que \forall x\in\mathbb{R}^+

3$e^x\ge\frac{x^2}{2}

3$\textrm posons \phi(x)=e^x-\frac{x^2}{2}

3$\textrm soit \phi^'(x)=e^x-x

3$\textrm soit \phi^{''}(x)=e^x-1

3$\textrm e^x-1\ge0 donc e^x\ge1 soit e^x\ge e^0 c a d x\ge0 car exp croissante strict

3$\textrm nous avons donc :

oups ... quelqu'un a repondu ...

je continue




Posté par
H_aldnoerre : démo de cours manquant: lim e^x / x en +00 06-05-05 à 00:52

bon je continue qd meme ...

3$\textrm nous avons donc

3$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&&0&&&+\infty\\{\phi^{''}}&&-&&0&&+&\\{\phi^'}&&&\searrow&&\nearrow&&\\\end{tabular}

3$\textrm \phi^'(0)=e^0-1=1

3$\textrm le minimun est egale a 1 donc \phi^'(x)>0 sur \mathbb{R} et donc \phi strictement croissante soit :

3$\begin{tabular}{|c|cccccc||}x&-\infty&&0&&&+\infty\\{\phi^'}&&+&\\{\phi}&&\nearrow&&\\\end{tabular}

3$\rm\lim_{x\to-\infty} e^x=0

3$\textrm et

3$\rm\lim_{x\to-\infty} -\frac{x^2}{2}=-\infty

3$\textrm donc \rm\lim_{x\to-\infty} \phi(x)=-\infty

3$\textrm \phi(0)=1 et \phi strictement croissante donc si x\ge0 alors \phi(x)\ge1>0

3$\textrm\forall x>0 e^x-\frac{x^2}{2}\ge0 soit e^x\ge\frac{x^2}{2} soit \frac{e^x}{x}\ge\frac{x}{2}

3$\textrm par theorem de comparaison, nous avons \rm\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{2}=+\infty donc \fbox{\rm\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty

sauf distraction ... a cette heure ci

@+ sur l':ilemaths; _ald_

Posté par
Nightmarere : démo de cours manquant: lim e^x / x en +00 06-05-05 à 00:58

Une autre maniére de le démontrer

Pour tout x strictement positif :

3$ e^{x}\ge x

On a alors :
3$\rm e^{\frac{x}{2}}\ge \frac{x}{2}
c'est à dire :
3$\rm \sqrt{e^{x}}\ge \frac{x}{2}
en mettant au carré :
3$\rm e^{x}\ge \frac{x^{2}}{4}
et en divisant par x (qui est positif donc l'ordre ne change pas) :
3$\rm \frac{e^{x}}{x}\ge \frac{x}{4}

Et on conclut de la même maniére que l'a fait H_aldnoer


Jord

Posté par
H_aldnoerre : démo de cours manquant: lim e^x / x en +00 06-05-05 à 01:48

re


3$\textrm\rm Dans le cas general il suffit d'ecrire que :

4$\begin{tabular}\frac{e^x}{x^n}&=&\frac{e^x}{e^{ln(x)}^n}\\&=&\frac{e^x}{e^{n.ln(x)}}\\&=&e^{x-n.ln(x)}\\&=&e^{x(1-n.\frac{ln(x)}{x})}\end{tabular}

a toi de conclure ...


@+ sur l' _ald_

Posté par
laotzere : démo de cours manquant: lim e^x / x en +00 07-05-05 à 00:08

Merci bcp pour vos aides!

Alors, je continue juste la démonstration de Aldnoer:

PS: pour montrer que \lim_{x\to +\infty}\frac{lnx}{x}=0
je pense que cela mérite une démonstration (peut-être en utilisant le résultat précédent:
\lim_{x\to +\infty}\frac{e^X}{X}=+\infty


En posant: quelque soit les réels X et x supérieurs à 1:  lnx = X, on a e^X = x
Ainsi: \frac{lnx}{x}=\frac{X}{e^X}
Donc: \lim_{x\to +\infty}\frac{lnx}{x}= \lim_{X\to +\infty} \frac{X}{e^X}= 0
Donc, pour tout naturel n: \lim_{X\to +\infty}e^X(1- n\frac{X}{e^X}) = +\infty = \lim_{x\to +\infty}x(1- n\frac{lnx}{x})
Donc: \lim_{x\to +\infty} e^{x(1- n\frac{lnx}{x})} = +\infty

Ainsi \lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x^n} = + \infty

Posté par
laotzere : démo de cours manquant: lim e^x / x en +00 07-05-05 à 00:10

au fait jayrhum:

Le site que tu as proposé est fantastique! C'est exactement ce qu'il faut pour le bac!
Merci encore!

Slt!

Posté par
H_aldnoerre : démo de cours manquant: lim e^x / x en +00 07-05-05 à 00:13

re bonsoir laotze !


attention dans la redaction ca me semble un peu confus ...

tu veu demontrer que 3$\rm\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}{x}=0

et tu conclut en disant :3$\rm ainsi \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n}=+\infty



@+ sur l' _ald_

Posté par
laotzere : démo de cours manquant: lim e^x / x en +00 08-05-05 à 18:58

Rebonjour H_aldnoer:

Désolé pour le manque d'assiduité

Au fait, je voulait juste finir le raisonnement que tu as presque fait, (mon but n'était pas pour montrer la limite de (lnx)/x en +\infty mais j'ai juste dit que je le montre en "passant", je l'ai sûrement mal dit, désolé...)

Euh, si la rédaction est confus pourriez-vous me corriger, parce que du coup cela m'inquète... le bac n'est pas loin...)

Merci encore!
@+++

Posté par
H_aldnoerre : démo de cours manquant: lim e^x / x en +00 08-05-05 à 19:16

re


pour finir ma demonstration il suffisait d'etudier la limite de 3$x(1-\frac{\ln(x)}{x}) et par composition avec la fonction exp conclure.


@+ sur l' _ald_


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