La démonstration que donne le collège Jean Monnet me paraît pourtant intéressante.

Dans cette démo, au tout début, on trace la perpendiculaire à (BC) passant par C.
Le point D est ajouté de manière que BCD soit rectangle en C.
Pour l'instant ça va.
Mais pourquoi le point A appartient à cette perpendiculaire ?

Il me semble que le point A n'appartient pas à cette perpendiculaire.

Plus précisément, si on suppose initialement que l'angle ACB est inférieur à un angle droit, par exemple, la droite AD coupe le segment BC entre les points B et C (tout près du point C).
On a démontré   BA = BD , d'où résulte que B est sur la médiatrice du segment AD.
De même,  CD = CA  par construction, de sorte que C est sur la médiatrice du segment AD.
Ainsi, l'ensemble de la figure est symétrique par rapport à cette médiatrice.
L'angle ACB, symétrique de l'angle DCB qui est un angle droit, est aussi un angle droit et le triangle ACB est rectangle en C.