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Démo fonction bornée

Posté par
AstreB612
09-07-24 à 12:10

Soit f une fonction continue de [a,b] dans
On veut montrer que f est majorée, soit que:
A, x[a,b], Af(x)

Raisonnons par l'absurde et supposons que f ne soit pas majorée soit que:
A,x[a,b], f(x)A x[a,b],A, f(x)A : ce qui signifie qu'il existe un réel c appartenant à [a,b] tel que Lim f(x) quand x tend vers c=+

Or f(c)+ car +n'appartient pas à R.

Donc Lim f(x) quand x tend vers cf(c). Absurde car f est continue. Donc f est majorée.

Ma démo est elle correcte ? Sur bibmath , il est utilisé le théorème de Bolzano-Weierstrass pour la démonstration.
Mais je trouve ma démonstration bien plus simple. Peu être à cause d'erreurs...

Posté par
carpediem
re : Démo fonction bornée 09-07-24 à 13:42

salut

AstreB612 @ 09-07-2024 à 12:10

Raisonnons par l'absurde et supposons que f ne soit pas majorée soit que:
A,x[a,b], f(x)A x[a,b],A, f(x)A : ce qui signifie qu'il existe un réel c appartenant à [a,b] tel que Lim f(x) quand x tend vers c=+

ceci est faux ... ce me semble-t-il ...

le x que tu trouves dépend de A

tu peux raisonner avec n entier naturel : \forall n \in \N : \exist x \in [a, b] : f(x) \ge n

cela induit une suite de l'intervalle [a, b] : n \mapsto x_n $ avec $ x_n \ge n

Posté par
AstreB612
re : Démo fonction bornée 09-07-24 à 19:57

C'est l'implication qui est fausse ?
Si pour tous A aussi grand qu'on veut il y a toujours un x tels que f(x) soit supérieur à A, ça veut dire qu'il y a bien une valeur de x tels que f(x) soit très grande et plus grand que toutes les valeurs de A  non ?
Si f n'est pas majorée, ça veut dire qu'elle tend vers + l'infini en une valeur ?

Posté par
Ulmiere
re : Démo fonction bornée 09-07-24 à 20:02

Si f est la fonction identité, \forall A, \exists x : f(x)\geqslant A est vrai, et l'ensemble des x qui satisfont l'inégalité est [A,+\infty[.
Mais \exists x, \forall A, f(x)\geqslant A est faux, ou alors il existe un réel plus grand que tous les autres réels, ce qui n'est pas le cas à ma connaissance
Tu écris une implication X \implies Y avec X vrai et Y faux, et un truc vrai ne peut pas impliquer un truc faux, donc l'implication est fausse

Posté par
AstreB612
re : Démo fonction bornée 09-07-24 à 20:17

Ah oui... Merci!!
Dommage quand même... La démonstration faisant intervenir le théorème de Bolzano-Weierstrass est pas très intuitif à comprendre. Je ne vois pas comment on peut avoir l'idée d'utiliser ce théorème.

Posté par
AstreB612
re : Démo fonction bornée 09-07-24 à 20:22

Ahh non en fait.

Ulmiere @ 09-07-2024 à 20:02

Si f est la fonction identité, \forall A, \exists x : f(x)\geqslant A est vrai


Mais
A, x [a,b], f(x) A est faux.

Posté par
Ulmiere
re : Démo fonction bornée 09-07-24 à 20:28

Dès qu'on te parle de fonction (uniformément) continue sur un compact et qu'il ne s'agit pas simplement de dire que la fonction est bornée et atteint ses bornes, c'est qu'on veut te faire utiliser BW.
(Ou Arzelà-Ascoli si t'es au niveau bac+3 et qu'on te parle d'équicontinuité)

De toute façon en prépa il n'y a pas 36 solutions, soit c'est un cas d'application directe d'un gros théorème du cours (TVI, Rolle, acroissements finis, Bolzano-Weierstrass) soit c'est pas ça et il faut t'y ramener en faisant un DL, ou une restriction, ou un prolongement analytique, ou autre filouterie.
Ou alors ça peut être un exercice où il faut montrer à la main à coups d'inégalités et d'approximations uniformes que le truc évident mais qui ne marche pas avec seulement les théorèmes du cours marche bien quand même en réalité (typiquement, pour passer à la limite ou dériver sous une intégrale)

Posté par
Ulmiere
re : Démo fonction bornée 09-07-24 à 20:32

AstreB612 @ 09-07-2024 à 20:22

Ahh non en fait.

Ulmiere @ 09-07-2024 à 20:02

Si f est la fonction identité, \forall A, \exists x : f(x)\geqslant A est vrai


Mais
A, x [a,b], f(x) A est faux.


Ca marche si f est la fonction identité sur \R, mais ça restreint effectivement les A possibles à l'intervalle [a,b], qui est l'image de f, si f est la restriction de l'identité à [a,b].


Pour revenir à l'énoncé, tu peux utiliser la caractérisation séquentielle du sup et la suite que suggère carpediem

Posté par
Ulmiere
re : Démo fonction bornée 09-07-24 à 20:33

ça restreint les A possibles à ]-\infty,b] pardon et désolé double post

Posté par
AstreB612
re : Démo fonction bornée 09-07-24 à 22:22

J'ai pas bien compris au final:

Si f est la fonction identité, avec a et b fixé,
A,x[a,b], f(x)A

C'est faux ou c'est vrai?
Pour moi c'est faux, par exemple si on prend A = b+1 , alors il n'existe aucune valeur de x dans l'intervalle [a;b] tels que f(x)A.

Et donc au final vous n'avez donné de contre exemple à mon implication.

J'ai pas compris ce qui coince dans mon implication. Par ce que si f n'est pas majorée sur l'intervalle [a,b], c'est bien qu'il existe un réel dans [a,b] tels que f diverge vers + l'infini quand f tend vers ce réel.

Désolé si vous avez déjà répondu à la question mais je comprend pas trop. Je me prépare pour la prépa l'année pro, j'essaye de tout bien comprendre pourquoi on utilise ceci et pas cela, j'essaye de voir pourquoi on peut pas faire autrement pour que tout soit bien clair.

Posté par
Ulmiere
re : Démo fonction bornée 10-07-24 à 14:14

(Dans tout ce qui précède, c'est partout un signe > à la place de \geqslant qu'il faut mettre si tu veux nier la majoration au sens large)

Ce qui est faux c'est de dire que tu peux intervertir le \foarall et le \exists dans toute proposition. \exists \forall implique toujours \forall\exists mais la réciproque est fausse.

La confusion vient du fait que tu es au milieu d'une démonstration par l'absurde à l'endroit de l'implication que tu écris.
Cette implication est équivalente à sa contraposée qui est

(\forall x\in[a,b],\exists A\in\R : f(x)\leqslant A) \implies (\exists A\in\R, \forall x\in[a,b], f(x)\leqslant A)


Le membre de gauche est une tautologie, il suffit de prendre A = f(x). Donc cette implication est vraie si et seulement si le membre de droite est vrai.
Et le membre de droite dit que f est majorée, alors que tu as supposé le contraire! Tu es donc en train de te baser sur quelque chose de faux à l'intérieur de ton raisonnement par l'absurde, qui devient faux, mais tu ne peux pas conclure de cette façon à la fausseté de l'hypothèse que tu avais faite, puisque sa contradiction est venue d'un raisonnement faux

Posté par
AstreB612
re : Démo fonction bornée 10-07-24 à 15:26

Ulmiere @ 10-07-2024 à 14:14


Ce qui est faux c'est de dire que tu peux intervertir le \foarall et le \exists dans toute proposition. \exists \forall implique toujours \forall\exists mais la réciproque est fausse.


J'avais déjà vu ceci, mais dans cette implication j'ai l'impression que la réciproque est vraie.

J'ai pas compris, l'implication toute seule est fausse, ou bien c'est qu'elle n'est pas appropriée dans la démonstration. C'est l'implication en elle même qui est fausse ou c'est son usage dans le raisonnement par l'absurde.

Par ce que comme vous le dîtes :
Ulmiere @ 10-07-2024 à 14:14


La confusion vient du fait que tu es au milieu d'une démonstration par l'absurde à l'endroit de l'implication que tu écris.
Cette implication est équivalente à sa contraposée qui est

(\forall x\in[a,b],\exists A\in\R : f(x)\leqslant A) \implies (\exists A\in\R, \forall x\in[a,b], f(x)\leqslant A)
Le membre de gauche est une tautologie, il suffit de prendre A = f(x). Donc cette implication est vraie si et seulement si le membre de droite est vrai.
Et le membre de droite dit que f est majorée, alors que tu as supposé le contraire! Tu es donc en train de te baser sur quelque chose de faux à l'intérieur de ton raisonnement par l'absurde, qui devient faux, mais tu ne peux pas conclure de cette façon à la fausseté de l'hypothèse que tu avais faite, puisque sa contradiction est venue d'un raisonnement faux

Si je comprends bien, vous dîtes que je me base sur une hypothèse que j'avais supposé fausse et que donc le raisonnement par l'absurde ne tient pas.
J'ai supposé que f n'est pas majorée, j'ai dit que ça implique certaine chose, et vous, vous dîtes que la contraposé de cette implication dit que f est majorée: moi je ne trouve pas que ça rende le raisonnement faux, c'est un autre moyen de trouver une absurdité à partir de notre hypothèse. Par ce qu'en supposant que f est pas majorée on retombe sur le fait que f est majorée. Absurde, donc f est majorée.



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