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démo somme progression géométrique

Posté par
Asymptote 13-09-20 à 15:23

Bonjour,

Je voudrais m'entraîner à démontrer par récurrence sur k la formule classique pour la somme de la progression géométrique mais je rencontre des difficultés, merci d'avance

Soit \sum_{i=0}^k x^i = 1+x+...+x^k = \frac{1-x^{k+1}}{1-x} avec x1

Je propose :

Initialisation : on vérifie que la proposition est vraie au rang initial, x = 0

\sum_{i=0}^k x^i = 1+0+...+0^k = \frac{1-0^{k+1}}{1-0} = 1

[b]donc la proposition est vraie au rang initial.

Hérédité : on montre que si la proposition est vraie au rang k, alors elle est vraie au rang k+1.

\sum_{i=0}^k x^i = 1+x+...+x^k *x= \frac{x(1-x^{k+1})}{1-x}
\sum_{i=0}^k x^i = x+x²+...+x^{k+1} = \frac{x-x^{k+2}}{1-x}

à partir de là, je ne sais pas si le raisonnement et les calculs sont bons, merci pour votre aide !

Posté par
Camélia Correcteurre : démo somme progression géométrique 13-09-20 à 15:33

Bonjour
Il faut traiter séparément le cas x=1.

La propriété pour k est celle que tu as écrite dans ton énoncé, pas celle que tu as mis dans la démonstration.
Pour faire l'hérédité il suffit d'exploiter le fait que

\sum_{i=0}^{k+1}x^i=\sum_{i=0}^kx^i+x^{k+1}

Posté par
lionel52re : démo somme progression géométrique 13-09-20 à 15:33

Hello je crois que tu as pas compris comment marche "sigma"

De plus la recurrence est sur k pas sur x tu peux donc pas faire l'initialisation x=0

Posté par
Asymptotere : démo somme progression géométrique 13-09-20 à 15:50

Merci pour vos retours

Si on ajoute x^{k+1} à la somme des k premiers termes, alors faut-il ajouter également x^{k+1} au quotient du membre de droite pour ensuite vérifier l'égalité ? Je ne comprends pas ce point

Posté par
Camélia Correcteurre : démo somme progression géométrique 13-09-20 à 15:55

Si tu veux ajouter quelque chose à un membre d'une égalité, évidemment il faut ajouter la même chose à l'autre si tu veux conserver ladite égalité!

Posté par
Asymptotere : démo somme progression géométrique 13-09-20 à 16:04

oui c'est vrai, du coup :

\sum_{i=0}^k x^i = 1+x+...+x^k+x^{k+1} = \frac{1-x^{k+1}+x^{k+1}-x^{k+1}}{1-x}

est-ce que c'est bon jusque là ?

Posté par
Asymptotere : démo somme progression géométrique 13-09-20 à 16:10

dans le numérateur, la dernière quantité n'est pas -x^{k+1} mais -x^{k+2}, écrit trop vite !

Posté par
Camélia Correcteurre : démo somme progression géométrique 13-09-20 à 16:18

Oui, mais lance-toi; pas la peine de demander si c'est bien après chaque calcul!

Posté par
Asymptotere : démo somme progression géométrique 13-09-20 à 16:37

en multipliant chaque membre par la quantité (1-x), il vient :

\sum_{i=0}^k x^i = 1+x+...+x^k+x^{k+1}(1-x) = 1 - x^{k+2}

\sum_{i=0}^k x^i = 1+x+...+x^k+x^{k+1}-x^{k+2} = 1-x^{k+2}

on montre ainsi que:

\sum_{i=0}^k x^i = 1+x+...+x^k = 0

donc k , x ,

\sum_{i=0}^k x^i = 1+x+...+x^k = \frac{1-x^{k+1}}{1-x}

Posté par
Camélia Correcteurre : démo somme progression géométrique 13-09-20 à 16:49

Je ne comprends plus!

Pourquoi veux-tu que 1+x+...+x^k=0? C'est évidemment faux! Et tu n'en as pas besoin.
Tu avais tout ce qu'il fallait à 16:10!

Posté par
Asymptotere : démo somme progression géométrique 13-09-20 à 17:11

\sum_{i=0}^k x^i = 1+x+...+x^k+x^{k+1} = \frac{1-x^{k+2}}{1-x}

à partir de cette égalité, comme on voit que la proposition est vraie au rang k+1 alors elle est vraie au rang k et on a démontré ce qu'on voulait ?

Posté par
Camélia Correcteurre : démo somme progression géométrique 14-09-20 à 14:48

On voit que SI elle est vraie au rang k ALORS elle est vraie au rang k+1.

Posté par
Asymptotere : démo somme progression géométrique 14-09-20 à 16:14

D'accord, j'ai compris Merci pour votre patience et vos explications ! bonne journée !

Posté par
Camélia Correcteurre : démo somme progression géométrique 14-09-20 à 16:25

Posté par
lafol Moderateurre : démo somme progression géométrique 14-09-20 à 23:20

Bonsoir
des imprécisions, un peu partout

par exemple :
ce n'est pas

Asymptote @ 13-09-2020 à 17:11

\sum_{i=0}^k x^i = 1+x+...+x^k+x^{k+1} = \frac{1-x^{k+2}}{1-x}



mais : \sum_{i=0}^{\red k+1} x^i = 1+x+...+x^k+x^{k+1} = \frac{1-x^{k+2}}{1-x}


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