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Démonstartion n^p=p^n
Voilà j'ai commencé la démonstrationmais je suis bloquée
Ona np=pn
Or pour tout n,p >0 et n 
ON a np=pn
pln(n)=nln(p)
ln(p)/p = ln(n)/n
Et après je ne sais pas ...
Pouveez vous m'aider.?.
bonjour
p est-il premier?
n^p=p^n n'est pas toujours vrais. Elle l'est sous certaines conditions à trouver.
Je vais être sincère : je sais qu'il y a une fonction à étudier , et en 3 lignes tu as le résultat ; mais je ne me souviens plus de la fonction 
Bonjour,
on doit s'en sortir en étudiant f:x->(lnx)/x, non ?
il faut étudier le nombre de solutions de l'équation f(x)=(lnp)/p pour p entier naturel non nul fixé.
Je propose donc :
calcul de f', signe de f', tableau de variation de f, un peu de théorème des valeurs intermédiaires (le corollaire), et on doit y arriver.
f : x->(ln(x))/x c'est mieux.hum... Comme tu as sûrement commencé le chapitre ln par "ln est l'unique primitive de x->1/x sur l'intervalle ]0,+oo[", je pense que tu connais la dérivée de ln...
une solution évidente est n=p
donc tous les couples (n,n) sont solution
ensuite utilises l'arithmétique:
si p est premier
donc n^p=p^n implique que p divise n^p donc p divise n
soit maintenant q un nombre premier qui divise n
donc q divise n^p donc q divise p^n donc q divise p
mais p est premier donc q=p ou q=1
donc p est le seul diviseur premier qui divise n
soit n=p^m la décomposition en nombre premiers de n
alors n^p=(p^m)^p=p^pm
donc p^pm=p^n
donc pm=n
n=p^m=pm donc m=p^(m-1)
tu continues
Je propose de procéder ainsi , avec trois cas .
I) p^n et n^p strictements positifs .
p diviseur nécessaire de n ou n diviseur nécessaire de p ,
je pose p diviseur de n , j'en déduis n diviseur de p^n .
Deux cas :
1) Soit p=n ,
2) Soit p<n , là (n/p)=q , (p^n)/n=n^(p-1)
De 2) je tire p^pq=(pq)^p , ce qui nous donne la condition nécessaire p^2=n . Nécessaire mais insuffisante .
Le résultat du deuxième cas en système d'équation avec nln(n) = pln(p) complète et donne p=2 , d'où l'on tire n=4 .
II) n^p et p^n strictements négatifs .
On déduit n et p négatifs et impairs ,
si -n=m et -p=r nous avons une nouvelle égalité de deux puissances positives donc le calcul précédent s'applique sur m^r=r^m avec pour résultats :
m=r , (m;r)=(2;4) ou (m;r)=(4;2)
1) p=n possible ,
2) (4;2) et (2;4) impossibles pour m et r qui sont aussi impairs .
III) n^p = p^n = 0 .
Impossible puisque n=0 ou p=0 donc p^n=1 ou n^p=1 et 1 différent de 0 .
Conclusion :
Les solutions (n;p) de n^p=p^n dans Z^2 sont (n;n) , (p;p) , (2;4) , (4;2) .
10 ans après ! il était temps 0x0.
Essaye d'intervenir dans des topics un peu plus actuels.
Et puis renseigner son profil est également utile.
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