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démonstration

Posté par
judup
03-01-16 à 16:04

Bonjour,
Dans un exercice j'ai conjecturé que la dérivée de f(x)=(ax^2+bx+c)*(e^x) était f^n(x)=(ax^2+(2na+b)x+n(n-1)+nb+c)*e^x

La question qui suit est de prouver cette conjecture, et je n'arrive pas à la démontrer...

Merci de votre aide!

Posté par
alb12
re : démonstration 03-01-16 à 16:12

salut, recurrence ?

Posté par
alb12
re : démonstration 03-01-16 à 16:16

la conjecture est est exacte comme on peut le voir en tapant sur Xcas:

f(x):=(a*x^2+b*x+c)*e^x
seq([n,factoriser(diff(f(x),x,n))],n,0,10)

la derniere commande renvoie:


 \\ \left(\begin{array}{cc}
 \\ 0 & e^{x} (a\cdot x^{2}+x\cdot b+c) \\
 \\ 1 & e^{x} (a\cdot x^{2}+2\cdot a\cdot x+x\cdot b+b+c) \\
 \\ 2 & e^{x} (a\cdot x^{2}+4\cdot a\cdot x+2\cdot a+x\cdot b+2\cdot b+c) \\
 \\ 3 & e^{x} (a\cdot x^{2}+6\cdot a\cdot x+6\cdot a+x\cdot b+3\cdot b+c) \\
 \\ 4 & e^{x} (a\cdot x^{2}+8\cdot a\cdot x+12\cdot a+x\cdot b+4\cdot b+c) \\
 \\ 5 & e^{x} (a\cdot x^{2}+10\cdot a\cdot x+20\cdot a+x\cdot b+5\cdot b+c) \\
 \\ 6 & e^{x} (a\cdot x^{2}+12\cdot a\cdot x+30\cdot a+x\cdot b+6\cdot b+c) \\
 \\ 7 & e^{x} (a\cdot x^{2}+14\cdot a\cdot x+42\cdot a+x\cdot b+7\cdot b+c) \\
 \\ 8 & e^{x} (a\cdot x^{2}+16\cdot a\cdot x+56\cdot a+x\cdot b+8\cdot b+c) \\
 \\ 9 & e^{x} (a\cdot x^{2}+18\cdot a\cdot x+72\cdot a+x\cdot b+9\cdot b+c) \\
 \\ 10 & e^{x} (a\cdot x^{2}+20\cdot a\cdot x+90\cdot a+x\cdot b+10\cdot b+c)
 \\ \end{array}\right) 
 \\



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