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Posté par
issanuire : inequation 21-07-17 à 12:01

Il me semble que la réponse donnée par kenavo dans l'autre topic est beaucoup plus meilleure .

*** message déplacé ***

Posté par
issanuire : inequation 21-07-17 à 12:04

Et donnée aussi par BenJ80 dans ce topic.

*** message déplacé ***

Posté par
mousse42re : démonstration 21-07-17 à 12:13

Ci-joint un graphe qui montre que l'énoncé est faux.

Avec a=1/8 et b=7/8

et avec a=1/2 et b=1/2

démonstration

Posté par
carpediemre : démonstration 21-07-17 à 16:15

salut

on peut évidemment le faire par récurrence ::

2^{n - 1} \le n! \\ 2 \le n + 1

et on multiplie membre à membre ...

... sinon :

0 \le 1 \le 1 \\ 0 \le 2 \le 2 \\ 0 \le 2 \le 3 \\ 0 \le 2 \le 4 \\ ... \\ 0 \le 2 \le n - 1 \\ 0 \le 2 \le n

et on multiplie membre à membre : 0 \le 2^{n - 1} \le n!



a + b = 1 => ab = a(1- a) = \dfrac 1 4 - (a - \dfrac 1 2)^2 \le \dfrac 1 4

Posté par
carpediemre : démonstration 21-07-17 à 16:20

(Lien cassé)

Posté par
carpediemre : inequation 21-07-17 à 16:20

démonstration

*** message déplacé ***

Posté par
mousse42re : démonstration 21-07-17 à 17:25

bon, je laisse tomber, il y avait une erreur, il n'est pas précisé dans l'énoncé de montrer l'implication :

a+b=1 \implies ab\leq \dfrac{1}{4}

bonne chance

Posté par
larrechre : démonstration 21-07-17 à 17:47

Bonjour,

Si j'ai bien compris (voir l'autre post), l'énoncé est le suivant.

Soit a et b \in\mathbb{R}^+ tels que a+b=1 et que ab\leq\frac{1}{4}
montrer que pour tout n\in\mathbb{N}

\large{(1+\frac{1}{a^n}) (1+\frac{1}{b^n})}\ge (1+2^n)^2

mais, bon, avec tous ces allers-retours on finit par s'y perdre...

Posté par
malou Webmasterre : démonstration 21-07-17 à 18:07

tu as lu ceci ?....démonstration
(modérateur)

Posté par
carpediemre : démonstration 22-07-17 à 13:47

(1 + \dfrac 1 {a^n})(1 + \dfrac 1 {b^n}) = 1 + \dfrac 1 {a^nb^n}(a^n + b^n + 1}) \ge 1 + 4^n [a^n + (1 - a)^n + 1]   (*)

soit f(x) = x^n + (1 - x)^n + 1 sur l'intervalle [0, 1]

f'(x) = n[x^{n - 1} - (1 - x)^{n - 1}] = n(2x - 1) \sum_0^{n - 2} x^k(1 - x)^{n - 2 - k}

la somme est positive donc f est décroissante sur [0, 1/2] et croissante sur [1/2, 1] et f admet le minimum f(1/2) = 1 + \dfrac 2 {2^n}

donc (*)  \ge 1 + 4^n(1 + \dfrac 2 {2^n}) = 1 + 2 . 2^n + 2^{2n} = (1 + 2^n)^2

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